Использование логических задач на дележи в работе с одаренными детьми

Автор: Волкович Анастасия Александровна

Организация: МБОУ СОШ №6 им. А.С.Пушкина

Населенный пункт: Калужская область, г. Калуга

Аннотация

В статье рассматривается содержание понятия задачи на дележи и методика их использования в работе с одаренными детьми. Обозначены виды практико-ориентированных заданий и задач. Выделены основные направления использования практико-ориентированных заданий в начальном математическом образовании.

Ключевые слова: практико-ориентированное задание, практико-ориентированная задача, урок математики, начальная школа, методика использования практико-ориентированных заданий.

PRACTICE-ORIENTED EXERCISES IN ELEMENTARY MATHEMATICS EDUCATION

 

The article discusses the content of the concept of practice-oriented task. The types of practice-oriented tasks and tasks are indicated. The main directions of the use of practice-oriented tasks in primary mathematical education are identified.

Keywords: practice-oriented task, practice-oriented task, mathematics lesson, elementary school, methodology of using practice-oriented tasks.

Задачи на дележи скорее всего появились раньше, чем появилось человечество. В животном мире далеко не всегда добыча делится с позиции силы. Естественно, животные фактически решая эту задачу на дележи не осознавали, что они в какой-то степенью занимаются математикой.

Очевидно и у людей задачи на дележи появились раньше, чем появилась математика.  Таким образом, говорить о сроках появления задач на дележи не имеет смысла.

Просто заметим, что такие задачи в неявной формулировке, легко отыскать, например, на первых страницах хрестоматии [1].

Имеет смысл сказать, что задачи о справедливом дележе были сформулированы после второй мировой войны решаются методами современной математики и не имеют никакого отношения к традиционным задачам. [2]

В настоящее время решение  задач, в том числе и задач на дележи арифметическими методами вновь стало актуальным. Это связано с тем, что в школьных программах занял своё место курс информатики, включая обучение программированию. Переход к программированию от решения задач с планом представляется более естественным, чем от составления уравнений, поскольку программа, в определённом смысле, и есть план решения задачи.  С другой стороны при решении задач на дележи во многих случаях удобно перейти к составлению уравнений. А навык составлять и решать уравнения не потерял своего значения, несмотря на массовый переход к цифровым технологиям.

Ещё один момент определяет актуальность решения задач на дележи. Дело в том, что последнее время у учащихся значительно ослаб интерес к учёбе, и нужны какие-то дополнительные способы его стимулирования. Многие задачи на дележи представляются в занимательной форме и встречаются в сборниках занимательных задач. [3] — [9].

Классификацию задач имеет смысл производить по двум критериям. Первый критерий по уровню сложности. Не анализируя понятие сложности,  заметим данном случае любой учитель это сделает  довольно правильно.

Второй критерий может быть установлен такой: просто задачи на сообразительность, элемент сообразительности + стандартное решение, задачи, которые можно свести к стандартным (школьным) методам и задачи не сводимые к  стандартным методам.

Приведём по примеру  каждой такой задачи.

1. В комнате четыре угла. В каждом углу сидит кошка. Напротив каждой кошки по три кошки. На хвосте каждой кошки по одной кошке. Сколько же всего кошек в комнате?[9]  (Надо сообразить, что всего четыре кошки)

2. Старик, имевший трёх сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежащее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний — треть и младший — девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали делёж, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, браться обратились к мудрецу. Тот приехал к ним на собственном верблюде и разделил по завещанию. Как он это сделал? (Надо сообразить, что нет слов: половина, треть, девятая часть именно МОЕГО стада. [10] Стадо можно дополнить одним верблюдом, всё поделить, а потом вернуть добавленного верблюда хозяину).

3. Как разделить 7 яблок между 12 мальчиками, если ни одно яблоко нельзя разрезать более, чем на пять частей? [3] (7/12=3/12+4/12=1/4+1/3, чтобы получить 12/4, надо взять 3 яблока и каждое порезать  на 4 части, 12/3 — 4 яблока, и каждое порезать на три части).

4. На столе лежат три кучки спичек, состоящие соответственно из 7, 11 и 13 спичек. Игроки по очереди берут любое количество спичек из любой кучки. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. В данной игре выигрывает начинающий. Укажите, как он должен играть? [10] Каким должен быть его первый ход?  (Описание решения займёт больше страницы текста).

Прежде чем говорить о методике обучения решению задач на дележи в четвёртых и пятых классах скажем о сверхзадачах обучения в начальной и средней школе.

В начальной школе мы должны научить ребёнка читать, писать и считать.

В средней школе мы должны научить ребёнка правильно излагать свои мысли и выработать у него элементарные навыки логического мышления.

Поскольку четвёртый класс — последний класс начальной школы, а пятый — первый класс средней школы, то отсюда следуют  и разные подходы к методике обучения вообще и данных задач в частности.

В начальной школе нашей задачей является стимулирование ребёнка на максимальное количество вычислений, с целью выработки и закрепления вычислительного навыка, то есть как правило методам перебора. В средней — обучение логическому анализу и, по-возможности, сведение необычных задач к стандартным математическим методам.

Рассмотрим эти подходы на примере одной задачи.

Задача следующая.

Три купца должны поделить между собой 21 бочонок, из которых 7 бочонков полных кваса, 7 полных наполовину и 7 пустых. Спрашивается, как они могут поделиться так, чтобы каждый имел одинаковое количество кваса и одинаковое количество бочонков, причём переливать квас из бочонка в бочонок нельзя.

Первое. В обоих случаях обращаем внимание на то, что пустые бочонки роли не играют, после того, как будут поделены остальные бочонки, каждому  купцу можно будет добавить столько  пустых бочонков, чтобы у него было всего ровно семь бочонков.

В начальной школе предлагаем предварительно решить стандартную задачу: У нас есть 7 полных бочонков кваса и 7 полных наполовину. Надо разделить этот квас на 3 человека, сколько кваса приходится на одного человека?

После решения этой задачи, получив ответ три с половиной бочонка, мы формулируем новую задачу: а сколько это половинок бочонка? Получаем ответ 7.

Следующий вопрос: сколько половинок в одной бочке?

Несмотря на некоторую кажущуюся «дебильность» вопроса — это очень важный момент. Как показывает опыт, даже некоторые старшеклассники  не понимают, что единица состоит из двух половинок, из трёх — третьих, десяти — десятых и так далее.

Получив ответ мы говорим: Смотрите у нас в семи бочках по две половинки, но разделить эти половинки мы не можем, а в семи одна половинка, значит нам надо так подобрать для каждого количество целых и половинок, чтобы у каждого было по семь половинок.

Начинаем перебирать.

Первый вариант. Один из купцов берет все семь наполовину налитых бочки. Тогда остальные должны поделить поровну семь полных бочек, но семь на два не делится, значит так нельзя.

Посмотрим, на какие три слагаемые можно разложить число семь.

При  этом очень важно выполнять перебор так, чтобы ничего не забыть.

Начнём с того что первым слагаемым будет 1. Получаем четыре варианта

1+0+6; 1+1+5; 1+2+4; 1+3+3. 

Теперь на первом месте 2. Ещё четыре варианта

2+0+5; 1 2+1+4; 2+2+3; 2+3+1.

Но тут два варианта со слагаемым 1 получены просто перестановкой мест слагаемых. Значит их не имеет смысл рассматривать.

Теперь на первом месте 3. Ещё четыре варианта.

3+0+4; 3+1+2; 3+2+1; 3+3+1.

Но в этом случае все варианты кроме первого получены перестановкой мест слагаемых.

Итак, у нас сесть не повторяющихся вариантов.

1+0+6; 1+1+5; 1+2+4; 1+3+3; 2+0+5; 2+2+3; 3+0+4.

Будем считать, что в каждом из этих вариантов, мы распределили наполовину налитые бочки. Теперь будем пытаться добавить к ним полные бочки так, чтобы получилось по 7 половинок.

Очевидно, что в первом случае так не получается.

Во втором случае получаем: 1 наполовину заполненная + 3 полных; ещё 1 наполовину заполненная + 3 полных; 5 наполовину заполненных + 1 полная.

В третьем случае поделить не получается, в четвёртом; 1 наполовину заполненная + 3 полных; 3 наполовину заполненных + 2 полных; ещё 3 наполовину заполненных + 2 полных;

В пятом, шестом и седьмом случае у нас не получается.

Таким образом у нас два варианта ответа. В каждом случае добавляем купцу по столько пустых бочек, чтобы у него было всего семь бочек.

Итак, получаем ответ

Первый вариант

1 наполовину заполненная + 3 полных + 3 пустых;

1 наполовину заполненная + 3 полных + 3 пустых;

5 наполовину заполненных + 1 полная  + 1 пустая.

Второй вариант

1 наполовину заполненная + 3 полных + 3 пустых;

3 наполовину заполненных + 2 полных + 2 пустых;

3 наполовину заполненных + 2 полных + 2 пустых.

В статье [11]  даётся несколько рекомендаций по решению нестандартных задач, которые сводятся к памятке:

«Если тебе трудно решить задачу, то по пробуй:

1) сделать к задаче рисунок или чертеж; подумай, может быть, нужно сделать на них дополнительные построения или изменить чертеж в процессе решения задачи;

2) ввести вспомогательный элемент (часть);

3) использовать для решения задачи способ подбора;

4) переформулировать задачу другими словами, чтобы она стала более понятной и знакомой;

5) разделить условие или вопрос задачи на части и решить ее по частям;

6) начать решение задачи «с конца»[11].

В данном случае, как и в большинстве других, методика обучения одарённых детей  может отличаться только подбором задач и подсказками учителя, а из рекомендаций уважаемого автора  можно выбрать третью и пятую.

Впрочем, может быть каким-то учащимся и стоит попробовать сделать рисунок, например, как рис.1.

 

Рис.1. Общее количество полных и полупустых бочонков

Тогда, может быть, один из вариантов решения задачи имеет смысл представить следующим образом. (Рис.2)

 

Рис. 2. Распределение полных и полупустых бочонков трём купцам

Естественным образом возникает вопрос, а действительно ли задачи на дележи являются настолько нестандартными и сложными, что их имеет смысл решать только во время внеурочной деятельности.

 

Собственно говоря, приведённый выше анализ рассматриваемой задачи и способ её решения показывает, что значительная начальная часть решения задачи совершенно стандартна: мы получили совершенно стандартными методами, что в результате деления у каждого купца должно остаться кваса объёмом равным  трём с половиной бочонкам. Вся сложность заключается в подборе нужного сочетания полных и полупустых бочонков.

Научить учащихся делать полный перебор так, чтобы не пропустить ни один вариант совсем не сложно.

В данном случае очевидно, что любой учащийся, у которого хватит терпения, найдёт хотя бы одно нужное сочетание. Другое дело, что способный ребёнок быстро поймёт, что некоторые сочетания рассматривать бессмысленно и отбросив их, потратит меньше времени на поиск. Таким образом, подобные задачи имеет смысл предлагать учащимся со средними и даже слабыми математическими способностями, по крайней мере, с целью повысить их уровень притязаний: «Ты просидел пол часа, но всё-таки справился с такой сложной задачей! Значит можешь! Надо только больше времени заниматься.»  Более того, многие из задачи на дележи сводятся к выделению «частей» и определения количества этих частей и размера (значения) одной части. Это уже стандартный приём, которому можно учить всех учащихся.

Вернёмся теперь к «одарённым» детям. Какую роль в их развитии могут играть задачи на дележи? Очевидно, что они являются развивающим материалом пока являются новыми и у одарённого ребёнка не выработался более или менее стандартный подход к их решению. 

Очевидно, что задачи на дележи всего лишь одна из групп нестандартных задач, которые можно предлагать учащимся. Традиционно, наряду с задачами о дележах предлагаются такие типы задач, как задачи на переливание, взвешивание и переправу.

Однако американский математик Раймонд Смалиан предлагает задачи на дележи в процессе обучения решению логических задач, как в приведённой книге [6], так и в книгах «про Алису». Это очень интересный, не опробованный в Российской школе подход.

Сделаем выводы.

Задачи на дележи являются одной из групп нестандартных задач, которые можно использовать для развития одарённых детей. С другой стороны их можно использовать и при работе с менее одарёнными в плане математических способностей учащихся. В начальной школе эти задачи способствуют развитию вычислительных навыков, в пятых и более старших классах помогают замечать закономерности при работе с числами, способствуют самостоятельному формированию алгоритмов и подводят учащихся к составлению уравнений. Актуальность решения задач арифметическим способом повысилась в связи с необходимостью обучать учащихся программированию. Для более эффективного использования задачи на дележи должны быть составной частью системы обучения решению нестандартных задач.

 

 

Литература

1. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия. Пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Под ред. А.П. Юшкевича. - М.: Просвещение, 1977.

2. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. — : Наука, 1981.— 160 с. — (Библиотечка «Квант»).

3. Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С. Математическая шкатулка : пособие для учащихся 4—8 классов сред. школы. — 5-е изд. — М. : Просвещение, 1988. — 160 с.

4. Баврин И .И . , Фрибус Е.А. Старинные задачи: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение, 1994.— 128 с: ил.

5. Реймонд М. Смаллиан. Принцесса или тигр?.— Москва: Мир, 1985.

6. Мартин Гарднер. Математические головоломки и развлечения.— Москва: Мир, 1999.

7. Мартин Гарднер. Математические досуги.— Москва: Мир, 1972.

8. Георгий Гамов, Марвин Стерн. Занимательная математика = Puzzle-Math / Перевод с английского Ю. А. Данилова, рисунки Ребекки Файлз, графика Георгия Гамова. — Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2001.— 88с.

9. Игнатьев Е.И. 'В царстве смекалки' \\Под ред. Потапова М.К., технол. обработка Нестеренко Ю.В. - Москва: Наука, 1978 - с.192

10. http://math.all-tests.ru/taxonomy/term/18

11. Останина, Е.Е. Обучение младших школьников решению нестандартных арифметических задач / Е.Е. Останина // Начальная школа. - № 7. – 2004. – С. 56 – 61.

Опубликовано: 26.11.2023