Проблемный диалог как средство развития математической грамотности обучающегося

Автор: Туля Татьяна Михайловна

Организация: МАОУ «СОШ с.Кумак» Новоорского района

Населенный пункт: Оренбургская область, с.Кумак

Проблемный диалог как средство развития математической грамотности обучающегося.

Введение.

     Диалог в обучении, или учебный диалог, – своеобразная форма общения. Это взаимодействие между людьми в условиях учебной ситуации, осуществляющееся в форме речи, в ходе которого происходит информационный обмен между партнерами и регулируются отношения между ними. Специфика учебного диалога определяется целями его участников, условиями и обстоятельствами их взаимодействия.

Учебный диалог в деятельности школьника представлен в основном двумя его видами: учитель – ученик и ученик – ученик. Длительный диалог между одним учеником и учителем в классе при традиционной организации обучения происходит нечасто: в классе редко случается возможность многократного обмена репликами с одним учащимся. Даже если это наблюдается, то такой диалог ориентирован в основном на класс в целом, на усредненного учащегося с целью получения коллективного результата. Внимание, интерес к одному ученику (даже несмотря на то, что этот интерес оказывает глубокое и воодушевляющее воздействие на учащегося), к сожалению, лишь эпизод в работе учителя на уроке, поскольку перед ним обычно стоят более широкие задачи.

  Наиболее распространенными в классе являются разнообразные формы диалога учитель – учащиеся, наиболее типичной из которых является руководимое учителем совместное обсуждение решения учебной задачи всем классом, а также другие формы фронтальной работы (беседы) во время урока.

   И для учителя, и для ученика диалог является средством деятельности: для учителя – средством обучающей деятельности, для ученика – учебной.

В процессе педагогической деятельности учитель ставит перед собой следующие цели: оптимизировать процесс решения учащимися конкретной учебной задачи путем эффективного управления деятельностью; в ходе этого управления создавать условия для стимулирования психического развития учащихся; предпринимать усилия для целостного гармонического развития личности учащихся.

Учащиеся в процессе учебной деятельности не осознают всех учебных целей, особенно отдаленных. Чаще их цель связана лишь с решением конкретной учебной задачи.В учебном диалоге, направленном на решение учебной задачи, эта цель конкретизируется в ряде подцелей: уточнении условий задачи, ее данных и искомых, выяснении непонятных моментов путем получения дополнительной информации, выработке и обосновании своей точки зрения, изменении своей позиции для того, чтобы партнер ее понял, получении его оценки, корректировки результатов решения.

 

Поскольку школа является социальным институтом, а учитель – представителем общества, то в диалоге учитель – учащийся последний стремится в наилучшем виде представить для оценки свои знания и получить социальную санкцию в виде одобрения учителя.

 

В отличие от учащихся, которые в большинстве случаев ограничиваются в конкретной ситуации осознанием ближайшей цели обучения – решения учебной задачи, учитель осознает одновременно ближайшие и отдаленные цели своей деятельности. Его деятельность тем эффективнее, чем в большей степени он обладает умением и мастерством планировать и оценивать каждое свое воздействие с учетом ближайших и отдаленных целей.

   Речь учителя в учебном диалоге является средством достижения указанных обучающих и воспитательных целей. Она реализуется в ряде реплик, содержанием которых в зависимости от конкретной цели данного фрагмента обучения может быть сообщение информации, постановка задач, выдвижение требований, диагностика понимания учащимися задачи, контроль за ходом ее решения, выявление пробелов в знаниях и их восполнение, коррекция деятельности учащихся, оказание им помощи, оценка достигнутых результатов и пр. При этом при необходимости каждая реплика может содержать воспитательный импульс и оказывать своего рода психотерапевтическое воздействие на личность учащегося: поддерживать его веру в свои силы, помогать удерживать в некотором привычном пределе уровень самооценки, ликвидировать, в случае необходимости, отрицательные тенденции в организации межличностных отношений в коллективе и нежелательные проявления в поведении отдельных учащихся и т. п.

  Многоплановость целевой направленности учебного диалога означает, что этот диалог фактически не имеет конца. Если конкретные фрагменты диалога заканчиваются вместе с решением конкретной задачи, то в целом этот диалог длится на протяжении всего обучения и заканчивается с прекращением общения учителя с учеником.                                                                                            Цели учебного диалога не исчерпываются отдельным фрагментом общения: то, что для ученика выступает как решение конкретной задачи, для учителя представляется как усвоение способа решения задач данного типа; то, в чем ученик усматривает усвоение способа, для учителя является условием для развития его способностей; то, в чем учащийся усматривает развитие своих способностей, для учителя выступает как предпосылка развития его личности.

Партнеры по общению обычно обладают определенными знаниями друг о друге. Степень учета модели партнера по общению, базирующейся на знании прошлого опыта партнера, истории его обучения, характеризует важный параметр общения, который может быть тот или иной. Учебный диалог охватывает не только сиюминутные состояния собеседников или их прошлое, но и потенциальное будущее. Опытный педагог знает своего учащегося не только в настоящем, но и в прошлом, у него есть также достаточно определенные представления о его будущем. Чем больше глубина диалога, тем полнее взаимопонимание между взрослым и ребенком. При нарушении процесса воспитания диалог и взаимопонимание сменяются коллективным монологом взаимообособленных учащегося и педагога. При прочих равных условиях эффективность педагогического воздействия тем выше, чем больше глубина диалога, т.е. чем больше отрезок времени в прошлом и дальше прогноз в будущее, которые включаются учителем в его модель учебной ситуации.

 

   Дидактическая цель учителя в учебном диалоге чаще всего не декларируется им, а имеет скрытый характер. При этом одна и та же дидактическая цель может достигаться в разных диалогах, один и тот же диалог может реализовать различные дидактические цели.

    Учебный диалог чаще всего направлен на решение учебной задачи (в отличие от трудовой, игровой). Его содержание характеризуется четкой предметной отнесенностью и сохранением единства темы вплоть до намеченного уровня ее исчерпания. При этом в традиционном учебном диалоге его тема часто бывает предопределена заранее учителем и, следовательно, является внешней по отношению к сиюминутному состоянию ученика (его интересам, желаниям, проблемам). Эта заданность темы зачастую блокирует познавательную активность учащихся. Поэтому необходимы специальные методические приемы, чтобы превратить заданную тему в естественно вытекающую из действительных интересов и переживаний учащихся. Это противоречие особенно ярко проявляется, например, при обучении иностранному языку. Именно здесь необходимо организовать естественное общение в ситуации обучения с его заданностью тематики, предуготовленностью содержания, направления и средств диалога.

    В учебном диалоге учитель выдает зачастую больше информации, чем запрашивает учащийся. Это объясняется тем, что он лучше понимает предмет разговора и может предвосхитить последующие вопросы, а также стремится к решению остальных (отдаленных) целей обучения.

Любая реплика учителя в учебном диалоге подчинена достижению учебных целей и имеет остродидактическую направленность. Субъективно, во всяком случае, учитель оценивает все проявления своего поведения в классе как обучающие и воспитывающие (это касается даже антипедагогических ситуаций, когда, например, на учащихся просто вымещается дурное самочувствие).

Учебный диалог характеризуется определенной, жесткой структурой партнерства. Обыденному диалогу свойственно исходное равенство партнеров.     

    В процессе развития темы возможны три ситуации: лидерство захватывает и удерживает один партнер; лидерство переходит от одного к другому; диалог происходит на паритетных началах. В учебном диалоге лидер, по существу, один – это учитель. По форме, а также в дробных фрагментах обучения лидерство может оказываться у учащегося (или сознательно передаваться ему учителем). Как правило, этот прием применяется с дидактической целью.

В учебном диалоге позиции партнеров жестко фиксированы: учитель учит, наставляет, воспитывает – учащийся учится, повинуется, принимает обучающее воздействие, реагирует на него определенным образом. Психологически грамотный учитель организует самостоятельную познавательную деятельность учащихся, оставаясь при этом ее руководителем (он ставит цели деятельности, определяет ее средства и контролирует результаты), т.е. лидерство учителя предполагает активность учащихся.

Такая фиксированность доминирующей позиции учителя на практике может иметь как явный, так и скрытый характер. Явное доминирование наблюдается при всех прямых методах воздействия (указание, требование, оценка, замечание).

Однако в ряде случаев явное доминирование наносит ущерб обучению, и тогда на арену выходят косвенные (непрямые) методы управления деятельностью учащихся при скрытой доминирующей позиции обучающего. Например, в системе Ш.А. Амонашвили «рассеянный» учитель делает ошибки на доске, «не понимает», «не догадывается» и т.п. Учащиеся подсказывают, исправляют, помогают. Со стороны учащихся – простодушное принятие позиции «обучающего». Учитель осуществляет как бы двухплановое поведение: так, его «ошибки» являются специально спланированными обучающими воздействиями, а внешне пассивная и подчиненная роль – только внешним воплощением глубоко разработанного педагогического хода.

Учащийся, как правило, на уроке играет не активную, а реактивную роль. Его общение с учителем имеет большей частью вынужденный характер в том смысле, что он, хотя и может в отдельных случаях инициировать диалог (задав вопрос, подняв проблему), однако по своему желанию не может прервать диалог и выйти из него. От учащегося часто не зависит сам факт вступления в диалог: его обычно не спрашивают, испытывает ли он в настоящий момент желание завязать общение с учителем. Более того, учебный диалог далек от естественного общения и тем, что участие в нем учащегося оценивается с точки зрения некоторой системы нормативов, невыполнение которых может повлечь за собой неприятные социальные последствия (отрицательную оценку, выговор, замечание). Эта подчеркнутая определенность и большое количество оценочных суждений в учебном диалоге заметно отдаляет его от естественного диалога. Так, в обычном диалоге в ответ на порцию информации слушатель может ответить: «А-а-а» (т. е. «Понял, вот оно в чем дело»). В учебном диалоге слушатель – учитель в типичном случае реагирует на сообщение оценкой, т. е. выступает не как  собеседник, а как классификатор и оценщик реплики учащегося. Поэтому опытный преподаватель обладает умением имитировать интерес к известной ему информации как к новой, неизвестной, значимой, умеет стимулировать выражение собственного отношения учащегося к излагаемому предмету. В результате действительно появляется новая для учителя информация, что вызывает к жизни разнообразные естественные формы реакции на сообщение (удивление, недоверие, интерес). Появляется живой диалог.

Однако в обычном случае учащийся в классе постоянно ожидает оценки, он нацелен на нее, готов к тому, чтобы его постоянно «классифицировали». В связи с этим страх ошибиться, усиленный самоконтроль превращает для ученика диалог с учителем в напряженную деятельность, нередко происходящую на фоне чрезмерной тревожности и оказывающую дезорганизующее воздействие на процесс обучения.

 

Условием эффективности учебного диалога является его психологически щадящий режим. Один из путей достижения такого режима – повышение симметричности диалога, т.е. такая его ролевая регламентация, при которой возможности ученика в инициативном поведении, принятии лидерской роли, активном влиянии на ход диалога были бы сравнимы с возможностями учителя. Диалог в котором учащийся, не опасаясь санкции со стороны учителя аргументирует свою позицию, является и наиболее развивающим. В старших классах школы и в профтехучилищах такой режим диалога наиболее желателен, учитывая интеллектуальную зрелость учащихся и их стремление к активному самоопределению.

   Не противоречит ли такое требование к организации диалога учитель – ученик сущности обучения и исходной, существенной асимметрии этого диалога? Нет, не противоречит. Оставаясь асимметричным по существу, на своем глубинном уровне, диалог учитель – ученик может иметь множество реализаций, причем некоторые из них могут строиться вполне симметрично. Руководящая роль учителя в процессе обучения и докучливое менторство с постоянным подчеркиванием своей доминирующей позиции – разные вещи. Высокие уровни педагогического мастерства предполагают скрытые, косвенные формы педагогического воздействия, при которых руководство педагога действиями учащегося выступает в завуалированном виде.

   Лидирующая роль учителя в диалоге только по виду противоречит его построению на началах партнерства. На самом же деле качество педагогического руководства тем выше, чем большую активность и самостоятельность может проявлять ученик в предложенном учителем регламенте учебного диалога.

   Учебный диалог – важнейшая сторона деятельности и учителя, и ученика. В связи с этим отношение к нему является более ответственным, чем, например, к обыденному житейскому диалогу. Как учитель, так и ученик активно направлены на построение адекватной модели партнера как основы для ориентации своей деятельности.

В связи с этим можно поставить цель данной статьи:

на примере конкретной темы: « Уравнение касательной» рассмотреть

возможность ведения диалога в процессе решения задач на нахождение касательной к графику функций.

Задачи: проанализировать роль учебного диалога относительно подтверждения правильности решения задач учащимися.

Для этого рассмотрим диалог учителя с обучающимися: при подготовке к решению задач (повторение и обобщение ранее изученного материала и алгоритма необходимого для решения задач), при классификации видов задач по данной теме и при решении задач.

 

Кроме оценки предметного содержания реплики в каждом случае должна идти параллельная оценка партнера (уровня его достижений, развития, личностных качеств). Чего к сожалению в статье отобразить невозможно. При этом учитель исходит из отдаленных целей обучения, сверяет с ними достигнутый уровень.

1.Ведение диалога при повторении материала необходимого для решения задач на отыскание уравнения касательной.

 

Данный вопрос особенно важен, т.к. тесно связан как с изучением предыдущего материала (определение производной, её геометрический смысл, построение графиков функций без помощи производных), так и с последующим учебным материалом (применение производной для исследования функций на монотонность и построения графиков, применение производной к решению прикладных, в т.ч. физических задач). Для успешного усвоения темы потребуется актуализация умений строить прямые и выводить уравнения прямых, уметь находить производные, делать необходимые вычисления и расчеты.

Задачи на нахождение уравнения касательной разнообразны по сложности. Многие из них потребуют  способности рассуждать логически и выстраивать план решения. Таким образом, появляется возможность повысить уровень предлагаемых заданий и дифференцировать тем самым работу с обучающимися.

Поэтому целесообразно начинать решение задач с обсуждения теоретических основ .

Уравнения прямых.

 

Решение задач на нахождение уравнения касательной непосредственно связано с определением и геометрическим смыслом производной функции в точке. Необходимо четко усвоить названные понятия. Для успешного решения задач потребуется также четкое понимание формулы уравнения прямой с угловым коэффициентом, условий параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Учитель: Вспомните уравнение прямой.

Ученик: Уравнение вида  называется общим уравнением прямой.

Учитель: Угол, определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Что нам известно про него?

Ученик: Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обоз начают  буквой k:

 

Учитель: Уравнение  называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат. Выразите  к через А и В.

Ученик:  , то ее угловой коэффициент определяется по формуле .

Учитель: Уравнение  является уравнением прямой, которая проходит через точку               (; y0 ) и имеет угловой коэффициент k.

Если прямая проходит через точки   (, ),  (, ),  то она задана общим уравнением (уравнением прямой, проходящей через две точки).Выведите это уравнение.

-по формуле

 

Учитель: Как определяется  ее угловой коэффициент ?

Ученик: -по формуле

 

Учитель: Вспомните признак параллельности двух прямых.

-Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:

 

 

Учитель: Если известны угловые коэффициенты  и   двух прямых, то как определяется один из углов  между этими прямыми?

-определяется по формуле:

 

 

Производная.

 

Учитель: Рассмотрим некоторую функцию y = f ( x ) в двух точках  x0  и  x0  :  f ( x0 ) и  f ( x0 +  x).

Здесь через   обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции:  f ( x0 +  x) - f ( x0 )  называется приращением функции.

Производной функции y = f ( x ) в точке  x0   называется предел:

 

Если этот предел существует, то функция   f (x) называется дифференцируемой в точке  x0 . Производная функции   f (x) обозначается так:(x)

 

Из рис.0  видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  (x)==

где   - угол наклона секущей AB.

Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то   неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует определение. Сформулируйте его.

Ученик:

-производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

 

Уравнение касательной.

Учитель: Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x0 ,  f ( x0  )  ). В  общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом  f ’( x0 )  имеет вид:

y = f ’( x0 ) · x + b .

Чтобы найти b, воспользуйтесь тем, что касательная проходит через точку A.

Ученик: f (x0 ) = f ’( x0 ) · x0 + b ,

Учитель: Выразите в.

Ученик: -отсюда, b =  f ( x0 ) – f ’( x0 ) · x0 ,

-Учитель: подставляя это выражение вместо b, вы получите уравнение касательной.

Ученик:-y =  f ( x0 ) +  f ’( x0 ) · ( x – x0  ) .

Учитель: Вспомните алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x) .

Этот алгоритм предложен А.Г. Мордковичем . Его принципиальная идея заключается в том, что абсцисса точки касания обозначается буквой a (вместо x0), в связи с чем, уравнение касательной приобретает вид                          

y = f(a) + f '(a)(x – a).

Ученики: необходимо:

1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания.

2. Найти f(a).

3. Найти f '(x) и f '(a).

4. Подставить найденные числа a, f(a), f '(a) в общее уравнение касательной y = f(a) = f '(a)(x – a).

-Рассмотрим, как действует данный алгоритм на конкретных примерах.

 

 

 

 

Задачи первого типа:

Задача 1.

Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке М(3;-2).

 

 

Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как f(3) = – 2.

1. a = 3 – абсцисса точки касания.

2. f(3) = – 2.

3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 5.

y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.

Задача 2.

Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

 

Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3)  6 (рис. 2)

1. a – абсцисса точки касания.

2. f(a) = – a2 – 4a + 2.

3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4.

4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),

a2 + 6a + 8 = 0  a1 = – 4, a2 = – 2.

Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид       y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид       y = 6.

 

Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:

касательная параллельна некоторой прямой (задача 3);

касательная проходит под некоторым углом к данной прямой (задача 4).

 

Задача 3.

Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x3 – 3x2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.

 

 

Решение.

1. a – абсцисса точки касания.

2. f(a) = a3 – 3a2 + 3.

3. f '(x) = 3x2 – 6x, f '(a) = 3a2 – 6a.

Но, с другой стороны, f '(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение

3a2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1) a = – 1;

2) f(– 1) = – 1;

3) f '(– 1) = 9;

4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – уравнение касательной;

1) a = 3;

2) f(3) = 3;

3) f '(3) = 9;

4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – уравнение касательной.

Задача 4.

Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).

 

 

Решение. Из условия f '(a) = tg 45° найдем a:  a – 3 = 1  a = 4.

1. a = 4 – абсцисса точки касания.

2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.

3. f '(4) = 4 – 3 = 1.

4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – уравнение касательной.

Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующие две задачи.

Напишите уравнения касательных к параболе y = 2x2 – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5).

 

 

Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1.

1. a = 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла.

2. f(3) = 1.

3. f '(x) = 4x – 5, f '(3) = 7.

4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой касательной.

 

Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то  – угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем

 

Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен

Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.

Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда

 

Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.

Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда

1.   – абсцисса второй точки касания.

2.

3.

4.

– уравнение второй касательной.

Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k1•k2 = – 1

Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций

 

Решение.

Учитель: Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде, составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6).

 

 

1. Пусть a – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции y = x2 + x + 1.

2. f(a) = a2 + a + 1.

3. f '(a) = 2a + 1.

4. y = a2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a2.

 

Пусть c – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции

2.

3. f '(c) = c.

4.

Так как касательные общие, то

 

Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3 – общие касательные.

 

Учитель: Основная цель рассмотренных задач – научиться самостоятельному распознаванию типа ключевой задачи при решении более сложных задач, требующих определенных исследовательских умений (умения анализировать, сравнивать, обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу таких задач можно отнести любую задачу, в которую ключевая задача входит как составляющая. Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную задаче 1) на нахождение функции по семейству ее касательных.

2.Ведение диалога при классификации типов задач на отыскание уравнения касательной.

Учитель: Рассмотрим примеры и способы решения задач, в которых не заданы координаты точки касания.

 

Каждому ученику предоставлена карта заданий. Задания подобраны таким образом, что при их решении мы рассмотрим все четыре вида задач на отыскание уравнения касательной.

 

1    

Напишите уравнения касательных к графику заданной функци, проходящих через точку М(-3;6).

 

2    

Составьте уравнение касательной к графику  заданной функции , не пересекающей прямую у=х .

 

 

3    

Напишите уравнение общей касательной к параболам                                                                                                                .

 

4    

Напишите уравнение касательных к параболе

 

 

, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 .

(учащиеся зачитывают условия задач)

Учитель: Во всех задачах школьного курса на отыскание уравнения касательной, сама касательная задаётся двумя способами. Попробуйте сформулировать их. Для этого проведите анализ условия каждой задачи.

Ученики:

задана точка в координатной плоскости, через которую проходит касательная;

задан угловой коэффициент этой касательной.

Учитель: Первый тип задач включает в себя задачи, в которых точка принадлежит графику функции, и задачи, в которых точка, принадлежащая касательной, графику функции не принадлежит. Попробуйте определить два вида задач второго типа.

Ученик: Второй тип задач также включает в себя два вида. Это задачи в которых касательная параллельна какой-либо прямой, и задачи, в которых касательная проходит под определённым углом к какой-либо прямой.

Учитель: Составьте схему классификации задач на отыскание касательной.

 

 

 

 

 

 

 

Решим ключевую задачу “Составить уравнения общих касательных к параболам, заданным уравнениями” различными способами.

Задача 1. Составить уравнения общих касательных к графикам функций у=х2 и у=-3х3-8, проходящих через точку С(0;6).

Найдем уравнение касательной к параболам по формуле , где х0 – абсцисса точки касания.

Имеем: у=х2, у/=2х    у=-3х2-8, у/=-6х

 

Тогда    

 

По условию С(0;-6) принадлежит касательным, значит    

 

Подставляя в уравнение касательной, получим или, окончательно,      или, окончательно,

 

К о м м е н т а р и й у ч и т е л я: этот тип задач достаточно часто встречается и его можно считать традиционным: дана функция y=f(x) и точка M(a;b), не принадлежащая графику функции. Требуется найти уравнения всех касательных к графику данной функции, проходящих через данную точку. Решение этих задач основывается на том, что координаты точки M(a;b) должны удовлетворять искомому уравнению касательной , т.е. должно быть верным равенство . Решив полученное уравнение, находим значение xo - координаты абсцисс точек касания, подставляя в уравнение касательной, получаем требуемый результат.

Задачи такого типа можно решать опираясь на понятие геометрического смысла производной, учитывая, что прямая y=kx+b является касательной к графикам функций y=f(x) и y=g(x). Решение сводится к системе: , где (m;f(m)) и (n;g(n)) – точки касания искомой прямой с графиками соответствующих функций.

Задача 2. Составить уравнения всех общих касательных к графикам функций у=х2 и у=-3х3-8.

Заметим, что данные функции дифференцируемы на R и их графики имеют невертикальную касательную. Пусть y=kx+b – уравнение искомой касательной, тогда каждое из уравнений х2=kx+b и -3х2-8=kx+b должно иметь единственный корень, и как следствие, дискриминант каждого уравнения должен быть равен нулю:    

 

Параметры k и b должны удовлетворять системе: .

Почленно вычтем из первого уравнения второе, получим: 16b+96=0, b=-6. Тогда , . .

Уравнения общих касательных к графикам данных функций и .

Ответ:

К о м м е н т а р и й у ч и т е л я: даны квадратичные функции y=f(x) и y=g(x). Нужно найти уравнения общих касательных к графикам этих функций. В приведенном методе использован частный случай: если функции y=f(x) и y=g(x) – являются квадратичными (наиболее часто встречающийся вариант в школьном курсе), то прямая y=kx+b будет общей касательной к графикам данных функций в том и только том случае, если каждое из квадратных уравнений f(x)=kx+b и g(x)=kx+b имеет единственный корень при дискриминанте, равном нулю. Решаем систему , затем находим значения k и b.

Задача 3. Найдите уравнения общих касательных к графикам парабол у=х2 и у=-3х3-8.

Пусть даны две параболы у=х2 и у=-3х3-8. Данные параболы подобны с коэффициентом k=3, где АА1 и ВВ1 – общие их касательные. Обозначим С – точку пересечения касательных, причем отрезок, соединяющий вершины парабол делится точкой С в отношении 3:1, т.е. . Прибавим к обеим частям пропорции по 1: , , , откуда СО=6, значит координаты точки С(0; -6).

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку С имеет вид: у= kх-6.

Для нахождения k, решим системы уравнений:

а) ,

б) .

Уравнения касательных к параболам у=х2 и у=-3х3-8 имеют вид .

На этапе рефлексии при проверке решения найдем координаты точек касания, также решив соответствующие системы:

 

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x0, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x1; y1) и B (x2; y2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.

Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x2 − x1 и приращение функции Δy = y2 − y1.

Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

 

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

 

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

 

 

 

 

 

3.Ведение диалога при решении задач.

Решение задания №1.

Учитель: Проверим принадлежит ли точка М(-3;6) графику функции

Учащийся:

М(-3;6)  графику заданной функции.

Учитель: Пусть точка - является точкой касания, что тогда можем определить?

Учащийся: Можно попробовать составить уравнение касательной к графику функции:

 

                             

.

Уравнение касательной:

Учитель: Что известно нам в задаче?

Учащийся: Точка М принадлежит касательной . Решив это уравнение, получим и .

Учитель: Какой вывод можно сделать из этого?

Учащийся: Отсюда следует, что через точку М можно провести две касательные к графику заданной функции. Запишем уравнения этих касательных.1.

2. .

Ответ: , .   

                                       Решение задания №2.

Учитель: Касательная не пересекает прямую  ,что это означает?

Учащийся: значит касательная параллельна данной прямой.

Учитель: Всповнив взаимосвязь между коэффициентами параллельных прямых, подумайте что из этого следует?

Учащийся: Отсюда следует, что угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой .

.

Учитель: Как же найти абсциссу точки касания?

Учащийся:

.

 

,  . Решив полученное уравнение найдём .

, . Данное уравнение имеет два решения:  и .

Выполнив проверку, выяснили, что решением уравнения является .

Учитель:Абсцисса точки касания равна . Можно теперь воспользоваться алгоритмом составления уравнения касательной.

Учащийся:

 

 

Ответ: .

Решение задания №3.

Учитель: Пусть искомая касательная касается данных парабол в точках с абсциссами  и . Обозначим функцию  как , а функцию  как . Какой тогда будет иметь вид уравнение касательной?

Учащийся: Тогда уравнение касательной можно записать следующим образом:

или .

Учитель: Попробуй раскрыть скобки.

Учащийся: Преобразовав каждое из выражений, имеем:  или .

Учитель :Вспомним про линейную функцию ? Геометрический смысл касательной?

Учащийся: Линейная функция, графиком которой является прямая, имеет вид  . Следовательно угловой коэффициент касательной   равен  или . То есть .

Учитель: Мы определили коэффициент к. Чему равен свободный член в?

Учащийся: Свободный член  или . То есть .

Учитель: Заменим  и исходными функциями и составим систему уравнений с двумя переменными.

Учащийся:

,  .

.

;Учитель:Вычислим значения и  для касательной

Учащийся: , .

Учитель: Осталось записать уравнение касательной

Учащийся: Уравнение касательной к графикам функций  и  имеет вид: .

Ответ: .

Решение задания №4.

Учитель: Запишем уравнение касательной к функции , проходящей через точку с абсциссой 3.

Учащийся:

  

УчительВторая касательная наклонена к первой под углом   угол наклона этой касательной к положительному направлению оси абсцисс = .

Найдём угловой коэффициент второй касательной. .Пусть - точка касания второй касательной, что тогда можно определить?

Учащийся: тогда . Отсюда .

.

Ответ: .

Основная цель рассмотренных задач – подготовить учащихся к самостоятельному распознаванию типа ключевой задачи при решении более сложных задач, требующих определенных исследовательских умений (умения анализировать, сравнивать, обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.).

 

 

 

 

 

4.Ведение диалога при выборе способов решения конкретной задачи

 

Учитель: Рассмотрим решение некоторой задачи с точки зрения применения нескольких способов при этом.

-Задачи, связанные с определением того, является ли прямая у = kx + b касательной к графику функции у = f(x).

Можно указать два способа решения таких задач.

Попробуйте сформулировать один из способов решения.

Ученик: ...?

 

Учитель: Что можно сказать о точке касания? (рис на доске)

Ученик: Это общая точка графиков касательной и функции.

Учитель: Основываясь на этом факте опишите ход решения данной задачи.

Ученик:

Находим общие точки графиков, т. е. решаем уравнение f(x) = kx + b, а затем для каждого из его решений вычисляем f (x).

Учитель: Свяжите геометрический смысл производной с дальнейшими рассуждениями при решении данной задачи.

Ученик: В тех случаях, когда f (x). = k, имеет место касание, в других — пересечение.

 

Учитель: Теперь попробуем сформулировать второй способ решения этой задачи. Для этого начнём рассуждения с последнего шага предыдущего способа.

Ученик:

Находим корни уравнения   f (x)= k и для каждого из них проверяем, выполняется ли равенство f(x) = kx + b. При его выполнении получаем абсциссы точек касания.

 

Обобщая оба способа, заметим, что для того чтобы прямая у = kx + b была касательной к графику функции у = f(x), необходимо и достаточно существование хотя бы одного числа х0, для которого выполняется система

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Знание истории обучения конкретного учащегося, оценка его возможностей и соответственного планирование какого-то отрезка обучения (т. е. планирование «будущего» в сочетании с определенным прогнозом) является условием достижения целей обучения.

 

Учащийся в ходе учебного диалога постоянно уточняет модель учителя для улучшения прогноза его поведения, реакций и т.п., что имеет для него важное значение.

 

Несмотря на подчеркнуто ролевой характер поведения в ситуации обучения, и учитель, и ученик выступают в учебном диалоге как личности: во-первых, они участвуют в общении физически, со своими индивидуальными характеристиками внешности, речи, моторики; во-вторых, их диалог оказывается насыщенным личностными смыслами, проникающими в строгий регламент учебного общения.

 

Взаимное познание учителя и учащегося обычно не ограничивается рамками предметного общения на уроке. Личность учителя, ее уникальность и неповторимость – важнейшее средство обучающих и воспитывающих воздействий в ситуации обучения, предпосылка педагогически оптимального общения на уроке.

 

Существенным отличием учебного диалога от житейского является большая произвольность деятельности партнеров по общению: в последнем форма речи зачастую остается вне фокуса внимания, а в учебном – постоянно находится под контролем и говорящего, и слушающего, и речемыслительная деятельность учащихся приобретает в связи с этим весьма напряженный характер.

 

 

Процесс выражения мысли можно представить как кодирование определенного содержания в систему словесных значений,который оказывает влияние па ход решения мыслительной задачи, преобразуя саму мыслительную деятельность.

 

 

Речевые характеристики учебного диалога часто далеки от естественного общения, что вызывается такими уже упомянутыми его особенностями, как произвольность речи, ее нормативность, контекстность. Чего стоит знаменитое требование «отвечать полным предложением», противоречащее всем законам организации структуры сообщений в естественной речи. Кроме того, играет свою роль и напряженный темп урока, вызывающий искусственное «подтягивание» индивидуальных характеристик речи к некоторой норме («не тяни» – «отвечай медленнее»), а также регламентация содержания высказывания («не отклоняйся от темы», «как сказать правильно?», «кто поправит?»).

 

В учебном диалоге велика доля репродукции смыслов: обычно много времени на уроке уходит на воспроизведение, повторение уже продуманного, известного. В связи с этим для него характерным является большой объем подготовленной речи.

 

Диалог в ситуации обучения является не только средством обучения и воспитания, он еще и полигон для упражнения речевой способности учащихся и условие усвоения ими законов человеческого общения, Усваивая знания, вырабатывая навыки и умения в определенной научной области, ученик одновременно усваивает правила речевого поведения и, в частности, правила диалога. К этим правилам относится способность ясно излагать свои мысли (строить полные и четкие высказывания, приводить в соответствие вербальные и невербальные средства), понимать партнера (слушать его, улавливать не только непосредственное значение его фраз, но и их смысл), добиваться адекватного понимания партнером смысла своего высказывания.

 

 

Список литературы:

1. Актуальные проблемы обучения математике и информатике в школе и педагогическом вузе : коллектив. моногр. / И.М. Смирнова [и др.]. – М.: Прометей, 2017. – 238 с. : табл. – Библиогр. в конце глав. – ISBN 978-5-906879-74-5. 

2. Денищева, Лариса Олеговна. Избранные вопросы методики преподавания математики: учебно-метод. пособие [Электронный ресурс] / Департамент образования г. Москвы, Гос. автоном. образоват. учреждение высш. образования г. Москвы "Моск. гор. пед. ун-т" (ГОАУ ВО МГПУ), Ин-т математики, информатики и естеств. наук, Каф. высш. математики и методики преподавания математики ; Л.О. Денищева, Н.В. Савинцева, З.Р. Федосеева. – М.: МГПУ, 2016. – 155 с. : табл., ил. – Прил.: с. 122–155. – Библиогр.: с. 116–119.

3. Денищева, Лариса Олеговна. Методика обучения математике для средней (старшей) школы, основанная на использовании МЭШ : учеб.-метод. пособие / Департамент образования г. Москвы, Гос. автоном. образоват. учреждение высш. образования г. Москвы "Моск. гор. пед. ун-т" (ГАОУ ВО МГПУ), Ин-т цифрового образования, Каф. высш. математики и методики преподавания математики, [ГБОУ "Шк. № 1234"]; Л. О. Денищева, А. А. Жданов. – М.: Книга-Мемуар, 2019. – 107 с: ил. – (Московская электронная школа). – Прил.: с. 91–104. – Библиогр.: с. 105– 107. – ISBN 978-5-6043125-0-6

4. Епишева, Ольга Борисовна. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: кн. для учителя / О.Б. Епишева. – М.: Просвещение, 2003. – 223 с: ил, табл. – (Библиотека учителя). – Прил.: с. 181–200. – Терминолог. словарь: с. 201–211. – Библиогр.: с. 212–221. – ISBN 5-09-010905-2.

5. Методика и технология обучения математике : курс лекций: учеб. пособие для студентов мат. фак. вузов / [авт. : Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова, В.В. Орлов и др.]. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с. : ил. – (Высшее педагогическое образование) (Высшее образование) (Пособие для педагогических вузов). – Библиогр. в тексте. – ISBN 5-7107-7414-6

 

1. file0.odt.. 299,6 КБ

Опубликовано: 18.10.2022