Урок-семинар в 9 классе. Тема: «Построение правильных многоугольников. Паркет»

Автор: Андриенко Татьяна Владимировна

Организация: ГОУ ЛНР «Леснополянская общеобразовательная школа»

Населенный пункт: Луганская область, Марковский р-н, с. Лесная Поляна

Цель: Обобщить и расширить знания о многоугольниках. Познакомить с историей решения задачи на построение правильных многоугольников. Выяснить, что такое паркет, его виды. Обратить внимание на эстетическую сторону данной темы. Указать связь теории з практикой. Развивать абстрактное мышление; интерес к математике и работе с дополнительной литературой.

 

Оборудование: ноутбук, паркет, пентаграмма, чертежные инструменты, таблицы, гаечные ключи. Болты, гайки, пчелиные соты, выставка литературы, модели правильных многогранников.

Используемый интернет – ресурс: http://nacherchy.ru/postroenie_pravilnich_mnogougolnikov.html

https://vuzlit.com/917389/postroenie_pravilnyh_mnogougolnikov

https://theoryandpractice.ru/posts/15216-pchelinaya-ekonomiya-pochemu-priroda-predpochitaet-shestiugolniki

 

Эпиграф урока: В мире нет места для некрасивой математики

Г.Х.Харди

 

Ход занятия.

 

Учитель

Уважаемые девятиклассники! На предыдущих уроках мы познакомились с правильными многоугольниками и некоторыми их свойствами. Давайте вспомним те вопросы, которые будут нужны нам для роботы на сегодняшнем уроке.

Фронтальная беседа (закончить предложение):

1. Правильным называется опуклый многоугольник, у которого...
2. Градусная мера угла правильного многоугольника зависит от…
3. Центральным углом правильного многоугольника называется угол...
4. Его величина вычисляется по формуле...
5. Правильный треугольник – это…
6. Его угол равен...
7. Правильный четырехугольник – это...
8. Его угол равен...
9. Каждый из углов правильного шестиугольника имеет величину...
10. Сторона правильного шестиугольника равна...

 

Учитель

Все, что мы сейчас вспомнили, это основа для дальнейшего изучения правильных многоугольников. Сегодня, у нас семинарское занятие „Построение правильных многоугольников. Паркет.”. Основное задание, которое стоит перед нами: рассмотреть отдельные способы построения правильных многоугольников. Выяснить, что такое паркет, свойства его создания.

И, главное : попробуем убедиться, что абсолютно прав был тот, кто утверждал: „В мире нет места для некрасивой математики”.

Готовясь к уроку, отдельные учащиеся приготовили сообщения, которые мы будем слушать в процессе нашей работы. А сейчас немного истории.

 

Ученик

Правильные многоугольники были известны очень давно. Как показывают археологические раскопки, орнаменты, с использованием равносторонних треугольников и квадратов, были распространенными более 25000 лет назад. На территории Пакистана раскопали город , которому 5500 лет. На стене одного из дворцов нашли три плитки в виде правильных шестиугольников. В египетских и вавилонских стародавних памятниках встречаются правильные четырехугольники и восьмиугольники в виде изображений и украшений из камня. Это есть свидетельством того, что еще в давние времена архитекторы использовали правильные многоугольники.

 

• А раз использовали, значит умели строить. Давайте вспомним, а какие из правильных многоугольников вы уже умеете строить.

Задача 1. Построить равносторонний треугольник любым способом ( возле доски)

Задача 2. Объяснить, как в окружности строится квадрат.

• 3. Как построить правильный шестиугольник , вписанный в окружность? ( возле доски)

 

Учитель

Ребята! Выполнять геометрические построения можно чем угодно и как угодно. Но не все они одинаково интересны. Это как в шахматах: можно выиграть вобщем , а можно дать мат в три хода – и это значительно красивее.

В стародавней Греции умение строить только с помощью циркуля и линейки считалось верхом совершенства. Вашему вниманию несколько исторических фактов.

 

Ученик В 4 книге своих „ Начал” Эвклид с помощью циркуля и линейки решает задачу построение правильного треугольника, четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника и пятнадцатиугольника. На протяжении многих лет усилия математиков были направлены на нахождение способов правильных семиугольников, девятиугольнков, одиннадцатиугольников и т. д. Но они были безрезультатными. И только в конце ХVIII столетия 19- летний студент Гессенского университета, в будущем великий немецкий математик, Карл Фридрих Гаусс, полностью решил вопрос о построении правильных многоугольников циркулем и линейкой. Это было его первое открытие. Он нашел способ правильного 17 – ти угольника. Собственное открытие так поразило его, что он с 1 курса философии перешел на курс математики, которой и посвятил всю свою жизнь.

Он очень гордился своим открытием и завещал выгравировать на своем надгробье правильний семнадцатиугольник, вписанный в круг.

 

Учитель

Решение задач на построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки – очень непростое. Рассказывают, что в Германии один очень настойчивый аспирант довел свого учителя до того, что тот сказал: „ Идите и найдите построение правильного многоугольника с 65537 сторонами» ( а його, действительно, можно построить). Аспирант пошел, и вернулся только через 20 лет, но с решением. Оно и сейчас сохраняется в архивах г. Геттингена.

В связи с этим послушайте задачу одного исторического деятеля.

 

Ученик

История возникновения задачи следующая: Наполеон, артиллерист по образованию, будучи первым консулом, попал у Милан, где познакомился з итальянским математиком Л.Максерони. Максерони подарил ему свою книгу” Геометрия циркуля”, в которой было доказано, что все задачи геометрии, на построение линейкой и циркулем, можно решить только циркулем. Наполеону так понравилась книга, что он сам придумал задачу, которую не смог решить ни один из его генералов.

 

Учитель

Вот эта задача: Найти вершины квадрата, вписанного в данную окружность с известным центром. Пользоваться можно только циркулем. Я предлагаю вам дома подумать над ее решением.

Еще в давние времена практиковалось, для различных надобностей, приближенное построение некоторых правильных многоугольников. Например, Геррон Александрийский нашел приближенное значение стороны правильного девятиугольника (выступление учащегося)

 

Учитель

Как вы уже поняли, способы построения правильных многоугольников – разные: точные и приближенные, простые и сложные. Но каждый человек должен знать самые простые из них , потому что они очень широко используются в строительной практике.

Перед вами:

Алгоритм построения правильных многоугольников

с помощью циркуля, линейки и транспортира.

 

І. Построить окружность..

2. Провести в ней произвольный радиус.

3. За формулой 360⁰/п найти величину центрального угла этого правильного многоугольника.

4. С помощью транспортира последовательно, от проведенного радиуса, отложить эти углы по окружности.

5. Полученные на окружности точки – вершины правильного многоугольника, который нужно было построить.

Задача Построить правильный пятиугольник ( один учащийся возле доски).

Если соединить точки так, как на рисунке, то получится звездный пятиугольник – Пентаграмма – символ союза пифагорейцев. Это эмблема, которую носили все ученики в школе Пифагора.

Как вы думаєте:

1.Можно ли таким образом построить любой правильный многоугольник?

2. Всегда ли точным будет такое построение?

3. Удобный ли это способ?

 

Самый яркий пример практического использования правильных многоугольников – паркет.

Обратите внимание на экран (изображение разных видов паркета из правильных многоугольноков) Паркетом будем называть – покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют или общую сторону, или общую вершину, или вообще не имеют общих точек.

Перед вами разные паркеты ( иногда называют просто: плитка). Где можно видеть такую мозаику? (ответы учеников)

Поэтому, знания по их построению открывают дизайнеру широкий спектр для создания красивых узоров.

Робота в группах

І

1. Какими одноименными правильными многоугольниками можно, без пропусков, закрыть плоскость? Ответ обоснуйте.

• углов возле каждой точки = 360 градусов, то есть величина внутреннего угла правильного многоугольника должна быть делителем 360 градусов. Таких мер есть три: 120 градусов ( правильний шестиугольник), 90 градусов ( квадрат), 60 градусов ( правильний треугольник ). Соответствующие рисунки рассмотреть на раздаточном материале.

 

ІІ

2.Можно ли сложить паркет только из правильных восьмиугольников?

 

ІІІ

1. Можно ли заполнить плоскость правильными многоугольниками разных видов? Ответ обоснуйте.

 

Чтобы плоскость была заполненной нужно выполнение условия: сумма углов при одной точке = 360 градусов. И здесь решения могут быть разными.

Вывод делают ученики

Таким образом, условия для построения паркетов следующие:

1. В каждой точке сумма углов многоугольников должна быть – 360 градусов.

2. Все многоугольники должны иметь стороны однаковой длинны.

3. Многоугольники должны заполнять всю плоскость и не пересекаться

 

Какому же из паркетов нужно отдать преимущество? Смотря для чего его создают.

Часто можно видеть покрытия дорог и площадей плитками, которые имеют форму правильных шестиугольников . Кажется, они дають меньшую осадку, чем квадратные плитки.

В связи с этим, очень интересно рассмотреть построение чашечек в сотах.

 

Ученик

Пчелиные соты состоят из шестигранных восковых ячеек , которые уложены в два шара и касаются днищами. Пчелы очень умные. Они выбрали шестигранную форму потому, что пытались как можно экономнее использовать площадь в середине небольшого улея. Поэтому и выбрали ту фигуру, которой можно без наложений и промежутков заполнить площадь, которая имеет наименьший периметр. Наверное, решение этой задачи им подсказал инстинкт.

Если мы захотим оградить участок определенной площади так, чтобы на ограждение ушло как можно менше материала, то ей нужно придать форму правильного шестиугольника.

Связанные с этим вычисления находят применение в обувной и других областях промышленности.

(Библиотечка журнала „Квант” - Математический калейдоскоп)

 

Учитель

Ребята! В старшей школе правильные многоугольники найдуть свое продолжение в правильных многогранниках, которые так же имеют очень широкое практическое применение. Я думаю, для вас интересными и полезными будуть выступления, которые подготовили наши одиннадцатиклассники.

 

( Выступления одиннадцятиклассников)

 

Д.З. Подготовить работу на конкурс „ Мой дизайн паркета из правильных многоугольников”

 

 

1. file1.doc.. 131,0 КБ

Опубликовано: 16.10.2022