Сумма п - первых членов геометрической прогрессии

Автор: Куликова Татьяна Александровна

Организация: МОУ АСОШ № 2

Населенный пункт: Тверская область, г.Андреаполь

Тема: Сумма п - первых членов геометрической прогрессии.

 

Цели урока:

• общедидактическая – формирование понятия геометрическая прогрессия, формирование умений работать с формулами нахождения п - члена геометрической прогрессии, суммы п - первых членов геометрической прогрессии;
• обучающая – изучить формулу нахождения суммы п - первых членов геометрической прогрессии, сформировать навыки применения этой формулы при решении упражнений;
• развивающая – развитие логического мышления, умения использовать ранее изученный материал, работа над формированием умения выстраивать логическую цепочку доказательств, умения аргументировать свой способ решения; формирование грамотной математической речи; развитие интереса к математике путем привлечения исторического материала; формирование навыков самостоятельной работы и самообучения; навыков групповой работы;
• воспитывающая – воспитание трудолюбия, внимания, чувства ответственности и общематематической культуры, развитие творческих способностей обучающихся.

 

Тип урока: урок первичного изучения и закрепления новых знаний.

 

Форма урока: традиционная с элементами игры, самообучения.

 

Методы обучения: традиционные: объяснительно-иллюстративный и репродуктивный,

нетрадиционные: ролевая игра, проблемный метод, частично-поисковый и т.д.

 

Оформление класса: портреты ученых-математиков Гаусса, Архимеда, Магницкого, девиз, дополнительный материал о прогрессиях, карточки с заданиями, карточки с самостоятельными работами и т.д.

 

Класс разделён на 4 группы по 5 человек. 5 обучающихся заняты в сценарии.

 

Ход урока.

1. Организационный момент. Приветствие класса и гостей.
2. Сообщение темы урока и целей урока.

Сегодня мы с вами продолжим изучение геометрической прогрессии. Повторим, как можно найти неизвестный её член, её знаменатель, формулу п - члена геометрической прогрессии, а также научимся находить сумму п - первых членов геометрической прогрессии.

Запишите в тетради число и тему урока.

Прежде, чем приступить к новой теме, я хочу выяснить у вас – есть ли проблемы с домашним заданием.

 

Девиз нашего урока « Прогрессио – движение вперед».

 

Закончился 20 век.

Куда стремится человек?

Изучены космос и море,

Строенье звёзд и вся Земля.

Но математиков зовёт

Известный лозунг:

«Прогрессио – движение вперёд»

 

 

 

 

 

 

1. Основная часть урока.

 

Стук в дверь.

Заходят три мудреца.

 

- Проходили мимо и вдруг услышали приятные нашему слуху слова – прогрессия.

- Отроки, вы нас узнаёте?

- Рады будем представиться вам, уважаемые школяры.

 

Архимед.

Кто формулу суммы квадратов нашёл?

И верной дорогой к прогрессу пошёл?

Математик и физик. Я – Архимед.

О жизни моей ходит много легенд.

А вы, славные отроки мои, что знаете обо мне?

(Ответы из класса)

 

Гаусс.

О! Я – Карл Гаусс! Немецкий математик.

Помню, как сейчас. Мне было 9 лет. Наш учитель стал проверять письменные работы старших ребят, а чтобы мы, малышня, ему не мешали, он дал нам задачу:

Найти сумму чисел от 1 до 100.

Ровно 1 минута понадобилась мне, что узнать верный ответ: 5050. Учитель был изумлён. Я сдал работу, а мои друзья решали эту задачу до конца урока.

И с тех пор, друзья мои, прогрессии меня очень интересуют.

 

Магницкий.

 

Господа! Имею честь представиться. Я – Леонтий Филиппович Магницкий – создатель первого учебника «Арифметика».

Нам бы очень хотелось поприсутствовать у вас на уроке. Можно?

 

 

1. Устная работа на повторение.

1.

• Рассмотрите числовые последовательности:

1. 1; 2; 4; -8;…;
2. 1; -2; 4; -8;…;
3. 1; -2; -4; -8;…;
4. 1; 2; 4; 8;…?

Какая (или какие) из них могут являться геометрической прогрессией? Как вы это определили?

2.

• Рассмотрите числовые последовательности:

1. 2,3; 3,5; 4,7; 5,9;…;
2. -½; 1; -2; 4;…;
3. 3; -9; 27; 81;…;
4. 3; 5; 7; 9;…?

Есть ли здесь арифметическая прогрессия? А геометрическая?

 

Определение арифметической прогрессии. Определение геометрической прогрессии.

3.  

• Является ли число ¼ членом геометрической прогрессии 8; 4; 2;…? Если является, то укажите номер.

 

4. Формула п - члена геометрической прогрессии. Как найти 6-ой член прогрессии по этой формуле, 10 член, 12 член?

 

А теперь вопросы наших гостей:

 

5. Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии равна 0, и ах произведение 4.

Возможно ли задать такую геометрическую прогрессию?

 

6. Может ли сумма трёх первых членов геометрической прогрессии, в которой знаменатель отличен от 1, быть равна 0?

 

Подведение итогов устной работы.

Молодцы! Перейдём к следующему этапу урока.

 

1. Новый материал.

 

Шум за дверью. Открывается дверь и входит Индусский царь со своим слугой.

 

Царь.

Я, индусский царь Шерам, научился игре в шахматы и восхищен её остроумием и разнообразием в ней положений. А это мой изобретатель – Сета. Я желаю достойно тебя наградить, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал. Назови награду, и ты её получишь.

 

Сета.

Повелитель, прикажи мне выдать за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

 

Царь.

Простое пшеничное зерно?

 

Сета.

Да, повелитель. Простое пшеничное зерно. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью - 4 зерна, за четвёртую – 8, за пятую – 16, и так далее до 64 клетки.

 

Царь Шерам рассмеялся.

Немного же ты просишь.

 

Мудрецы.

Архимед.

Наимудрейшие! Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности земли, считая и моря и океаны, и горы, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.

 

Гаусс.

Математика – наука точная.

Записывает на доске число – 18 446 744 073 709 551 615. Читает это число.

Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать.

 

Магницкий.

В моё время сказали бы иначе: 18,5 ⋅10¹⁸ зерен. Признаюсь вам, в моём учебнике «Арифметика», изданном 200 лет назад, по которому пол века учились дети, много есть задач по теме «прогрессия», но иные из них я решал с трудом, так как не все формулы были известны.

 

Царь.

Да, Сета, задал ты мне задачку. Но я обещал, что теперь делать.

 

Сета пожимает плечами и загадочно улыбается.

Учитель.

Уважаемые царь и Сета, оставайтесь на нашем уроке, может, что новое узнаете. И его величество не попадёт больше в такую ситуацию.

Как же вычислили наши мудрецы количество зёрен.

Есть одна формула, которая называется формулой суммы п - первых членов геометрической прогрессии, с помощью этой формулы можно было посчитать количество зёрен.

 

 

1. Новый материал.

 

Обучающиеся в тетради под диктовку учителя записывают теорему.

 

Теорема.

Сумма п - первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1 равна

 

 

Доказательство данной теоремы несложное, вы его изучите самостоятельно дома; если возникнут вопросы – на следующем уроке разберём.

 

Откройте учебник на странице 153 и прочитайте задачи 2 и 3. Вопросы по задачам? (5 мин.)

 

 

1. Закрепление формулы.

 

Сейчас каждая группа получит задание по изучаемой формуле и должна будет его выполнить. Если возникнут вопросы – можно обращаться к мудрецам, которые тоже посмотрят эти задания и смогут, при необходимости, оказать помощь.

 

 

1 группа.

№ 420 (1, 2)

№ 421 (1)

№ 422 (1)

2 группа.

№ 420 (3, 4)

№ 421 (2)

№ 422 (2)

3 группа.

№ 420 (2,5)

№ 421 (1)

№ 422 (1)

4 группа.

№ 420 (3,6)

№ 421 (2)

№ 422 (2)

 

 

Проверка ответов. Выявить ту группу, где было очень мало ошибок или их не было совсем.

 

1. Сообщения учащихся.

 

Немного отдохнём и послушаем, что интересного нам расскажут ребята.

Сообщения учащихся

Одна пара кроликов в год приплод в 50 крольчат. Если бы они все оставались в живых, то в грубом приближении можно было бы считать, что число кроликов увеличивается в 25 раз каждый год. Но тогда через 2 года их число увеличилось бы в 625 раз, через 3 года в 15625 раз и т.д. Последовательность чисел 1, 25, 625, 15625... возрастает очень быстро – уже через 5 лет было бы 25⁵, т.е. более девяти миллионов пар, а еще через 5 лет кролики исчислялись бы биллионами.

Еще быстрее увеличилось бы количество растений мака, если бы каждое маковое зерно давало новое растение. В одной головке содержится примерно 3000 маковых зерен, и уже через 5 лет число потомков одного растения равнялось бы 3000⁵ = 243 000 000 000 000 000. Это примерно по 2000 растений на каждый метр суши, включая песчаные пустыни Сахары и Каракумов и ледяные просторы Ирландии и Антарктиды.

А комнатные мухи размножались бы вообще с головокружительной быстротой. Если считать, что муха откладывает по 200 яичек и в течение лета появляется 7 поколений, то за лето появилось бы более чем 800 000 000 000 000 мух. Эти мухи весили бы несколько десятков миллионов тонн, а выстроенные в одну линию, заняли бы отрезок длиной в 1500 млн. км, что в 10 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство одной пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара.

 

Учитель:

Разумеется, в действительности мы не наблюдаем такого чудовищного роста – в любом сообществе животных и растений через некоторое время устанавливается динамическое равновесие. Одни питаются другими. Погодные условия также влияют на продолжительность жизни и т.д.

 

1. Творческое задание (отработка понимания математической речи на слух).

 

На обратной стороне доски выписаны формулы и для геометрической прогрессии и для арифметической прогрессии, каждая со своим номером. Я буду читать название любой из этих формул в определённом порядке, вы должны записать номер этой формулы себе в тетрадь. По истечении всего задания у вас получится семизначное число, которое вы передадите мудрецам. А они объявят результат.

 

Свойство членов геометрической прогрессии	7
Сумма п - первых членов арифметической прогрессии	3
Свойство членов арифметической прогрессии	5
п - член геометрической прогрессии	6
Сумма п - первых членов геометрической прогрессии	1
Знаменатель геометрической прогрессии	4
п - член арифметической прогрессии	2

 

 

Ответ: 7356142.

Подведение итогов.

 

1. Задачка мудреца.

 

Архимед.

 

Ребята! Ваши задачи какие-то скучные, вот моя задачка!!! Попробуйте её решить.

«У 7 лиц есть 7 кошек, каждая кошка съедает по 7 мышей, каждая мышь съедает по 7 колосьев ячменя, из каждого колоса может вырасти 7 мер зерна. Каков ряд чисел, возникающих из этой задачи, как велика сумма его членов?»

 

Ответ: ряд – 7, 49, 343, 2401 . Сумма - 2401+7+ 49+ 343 = 2800

 

 

Даётся время на размышление. Через 2 – 3 минуты ученик объясняет решение на доске.

 

1. Самостоятельная работа на закрепление и отработку материала.

 

Гаусс.

 

Под скрип пера о лист бумаги.

Заполните сии листы!

Да помогут вам наши начинанья!

 

 

 

 

 

1 вариант

1. Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии -2; -4; -8;… (3 балла)

2. Укажите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, у которой b₁=81, q=1/3. (3 балла)

3. Геометрическая прогрессия задана формулой n-го члена b_n=5^n-1. Найти S₅. (4 балла)

4. Дополнительная задача. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько дрожжевых клеток стало после пятикратного деления, если первоначально их было 1 млн?

 

Критерии оценки: 3–5 баллов — “3”, 6–8 баллов — “4”, 9 и более — “5”.

 

 

2 вариант

1. Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии, у которой b₁=32, q=-2. (3 балла)

2. Укажите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии 2;1; Ѕ ;… (3 балла)

3. Геометрическая прогрессия задана формулой n-го члена b_n=3ⁿ. Вычислить S₅. (4 балла)

4. Дополнительная задача. Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория – туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий стало после шестикратного деления, если первоначально их было 1000?

Критерии оценки: 3–5 баллов — “3”, 6–8 баллов — “4”, 9 и более — “5”.

Выполнение работы под копировку. Один экземпляр сдаётся учителю, другой остаётся у учащихся.

Проверка выполненных работ.

Каждый ученик может оценить свою работу.

В группах складывают баллы, полученные за самостоятельную работу.

Мудрецы выносят решение: какая из групп победила, т.е. набрала большее количество баллов.

 

1. Выставление оценок за урок.

 

1. Подведение итога урока.

 

Какую формулу сегодня изучили? Что нового ещё узнали? Какие сложности возникли в процессе работы над формулой?

 

 

1. Домашнее задание. № 424, 425; дополнительно № 426, № 427

 

Да, все вы мудрецы!

Дружней вас не сыскать.

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

1. file0.doc.. 95,0 КБ

Опубликовано: 16.07.2023