Как вопрос задачи помогает истолковать остаток

Автор: Мальцева Наталья Ивановна

Организация: МБОУ «СОШ № 34» г. Грозного

Населенный пункт: Чеченская Республика, г. Грозный

Математика · 3 класс

Один пример и четыре разных ответа

Вычисление 23 : 5 = 4 (ост. 3) может быть выполнено без ошибки, а задача всё равно решена неверно. Ребёнок получает два числа и выбирает для ответа то, которое кажется главным. Особенно трудно объяснить, почему в одной задаче ответ равен четырём, в другой — пяти, а в третьей — трём. Педагогическая находка заключается в том, чтобы на короткое время оставить вычисление неизменным и менять только вопрос. Тогда предметом работы становится смысл полученного результата.

Для начала нужны 23 одинаковые бумажные карточки и несколько бумажных полосок, на каждой из которых отмечено пять мест для карточек. Условие звучит так: «Есть 23 открытки. В один конверт помещается не больше пяти открыток. Открытки раскладывают по конвертам, сначала заполняя каждый полностью». Дети составляют четыре полные группы по пять карточек; три карточки остаются отдельно. Пока не сформулирован вопрос, окончательного ответа у этой ситуации нет.

Учитель предлагает четыре вопроса: «Сколько конвертов заполнено полностью?», «Сколько открыток осталось вне полных конвертов?», «Сколько конвертов понадобится, чтобы разместить все открытки?», «Сколько ещё открыток нужно, чтобы последний конверт тоже был полным?». Ответы: четыре конверта, три открытки, пять конвертов, две открытки. В третьем вопросе предполагается, что конвертов достаточно. Последний конверт может быть заполнен частично.

Три действия после вычисления

Приём удобно выразить тремя глаголами: назови, покажи, ответь. Сначала ученик называет, что обозначает каждое число в записи. Здесь 23 — все открытки, 5 — вместимость конверта, 4 — количество полностью заполненных конвертов, 3 — открытки, не вошедшие в полные конверты. Существенно произнести единицы: остаток обозначает открытки, а частное — конверты. Без этого различия дети легко складывают числа, относящиеся к разным объектам.

Затем ученик показывает на модели именно то, о чём спрашивается. На вопрос о полных конвертах он указывает на четыре полные группы. На вопрос о всех необходимых конвертах добавляет место ещё для одного конверта и переносит туда три оставшиеся карточки. На вопрос о недостающих открытках показывает два свободных места в последнем конверте. Движение выполняется до записи ответа, чтобы запись описывала понятное действие.

Наконец ученик отвечает полным предложением и объясняет выбор числа: «Нужно пять конвертов: четыре полных и ещё один для трёх оставшихся открыток». Для четвёртого вопроса появляется отдельное вычисление: 5 − 3 = 2. Готовую формулу «при остатке всегда прибавляй один» давать не следует. Она верна только для определённых вопросов, когда все предметы необходимо разместить и допускается неполная последняя группа.

Короткая работа в парах

На первый раз достаточно 10–12 минут. После совместного разбора один ребёнок в паре получает карточку с вычислением, другой — карточку с вопросом. Первый объясняет частное и остаток, второй выбирает нужную часть модели. После ответа дети меняются ролями. Проверяющий задаёт не вопрос «У тебя сколько?», а вопрос «Что ты сейчас считаешь?». Такая реплика помогает обнаружить подмену предметов даже при совпадении числовых ответов.

Для записи используется небольшая памятка: «Вопрос задачи — что считаю — где это на модели — ответ с объяснением». Это не дополнительная таблица ради оформления, а последовательность проверки. Если ученик сразу понял ситуацию, достаточно устного объяснения. Если затрудняется, он возвращается к карточкам или рисует кружки, собранные в группы. Длина объяснения не оценивается: важна связь выбранного числа с вопросом.

Полезен и заведомо спорный ответ: «Всего нужно четыре конверта, потому что частное равно четырём». Дети проверяют его действием: 4 · 5 = 20. Три открытки остаются без конверта, следовательно, требование разместить все открытки не выполнено. Опровержение опирается на условие, а не на авторитет учителя.

Готовая карточка для самостоятельной работы

Задание 1. Для мастерской приготовили 29 кисточек. В коробку помещается не больше шести кисточек. Сначала коробки заполняют полностью. Сколько коробок будет полным? Сколько коробок нужно, чтобы убрать все кисточки? Сколько свободных мест останется в последней коробке? Выполни одно деление, но запиши три ответа с пояснениями.

Задание 2. Есть 34 бусины. Для одного браслета требуется ровно восемь бусин. Сколько целых браслетов можно сделать? Сколько бусин останется? Сколько бусин нужно добавить, чтобы сделать ещё один такой браслет? Объясни, почему нельзя ответить, что уже можно сделать пять браслетов.

Задание 3. Придумай к вычислению 26 : 4 = 6 (ост. 2) два вопроса так, чтобы один ответ был равен шести, а другой — семи. Используй одну ситуацию и одинаковые предметы. Проверь, допускает ли твоё условие неполную последнюю группу.

Проверка задания 1: 29 : 6 = 4 (ост. 5); полных коробок четыре, для всех кисточек нужны пять коробок, в последней останется одно свободное место. Проверка задания 2: 34 : 8 = 4 (ост. 2); получится четыре браслета, останутся две бусины, добавить нужно шесть. Неполный браслет не считается готовым. Возможный ответ к заданию 3: «В лоток помещается не больше четырёх яблок. Яблоки раскладывают, сначала заполняя лотки полностью. Сколько полных лотков получится? Сколько лотков нужно для всех 26 яблок?».

Поддержка и самостоятельный перенос

Ребёнку, которому трудно удерживать условие, можно дать готовые полные группы и предложить самому разместить остаток. Другому достаточно рисунка без предметов. Для уверенных учеников полезнее обратная задача: составить вопрос к заданному ответу или объяснить, какие условия необходимо добавить, чтобы вопрос имел однозначный смысл. В частности, слова «не больше» и «ровно» задают разные требования к последней группе.

Карточка выхода использует новые числа: «38 саженцев распределяют по ящикам вместимостью шесть саженцев. Сначала каждый ящик заполняют полностью. Все саженцы должны быть размещены. Какое наименьшее число ящиков понадобится? Сколько саженцев окажется в неполном ящике?». Верный ответ: семь ящиков; в последнем — два саженца. Запись 38 : 6 = 6 (ост. 2) сама по себе ещё не подтверждает понимания.

Проверяются три признака: ученик правильно вычислил; назвал, что обозначают частное и остаток; связал окончательный ответ с требованием разместить все предметы. Если первое действие выполнено, а объяснения нет, дальнейшая помощь нужна в понимании вопроса. Так деление с остатком становится поводом учить ребёнка проверять математический ответ по реальной ситуации.