Математическая информация. Логика. Подготовка младших школьников к олимпиадам

Автор: Воронова Антонина Александровна

Организация: ГБОУ города Москвы «Школа №1287»

Населенный пункт: г.Москва

Математическая логика – раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики. Логика изучает умозаключения, а математическая логика изучает те типы умозаключений, которыми пользуются математики. Отличительной чертой математики, в противоположность другим наукам, является использование доказательств, а не наблюдений. Физик может выводить физические законы из других законов, но как окончательное подтверждение физического закона он обычно рассматривает согласованность его с экспериментом. Математик тоже может использовать наблюдение: например, проверить на многих прямоугольных треугольниках, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Однако он признает этот факт как математический закон только тогда, когда это будет доказано. Естественно, невозможно доказать все законы, т. к. необходимы начальные предположения, на основании которых мы будем доказывать все остальные математические законы. Начальные законы, которые принимаются без доказательства, называют аксиомами, остальные, которые выводятся из аксиом, называют теоремами. В качестве аксиом выбирают утверждения, которые считаются очевидными по самой природе рассматриваемых понятий. Так, мы сводим большое число математических законов к небольшому числу аксиом. Похожее сведение происходит и с математическими понятиями. Мы обнаруживаем, что можно определить некоторые понятия в терминах других понятий. Но опять-таки самые первые понятия, которые мы используем, не могут быть определены, т. к. нет более ранних понятий, в терминах которых их можно было бы определить. Мы выбираем некоторые понятия, называемые основными понятиями, которые остаются неопределенными, остальные понятия, называемые производными понятиями (определениями), даются в терминах основных. К основным понятиям, так же как и к аксиомам, предъявляется следующее требование: они должны быть столь просты и ясны, что мы можем принимать их без точного определения. В любом утверждении можно заменить производные понятия основными, в терминах которых они определены. Поэтому можно предполагать, что все понятия, которые встречаются в аксиомах, являются основными. Теперь можно следующим образом описать то, что делает математик. Он предлагает нам некоторые основные понятия и некоторые аксиомы об этих понятиях. Затем он объясняет нам эти понятия до тех пор, пока мы не поймем их достаточно хорошо, так, чтобы увидеть, что аксиомы являются истинными. Далее он переходит к определению производных понятий и доказывает теоремы об основных и производных понятиях. Здание, которое он строит, состоящее из основных и производных понятий, аксиом и теорем, называется аксиоматической системой, а способ построения – аксиоматическим методом. Яркими примерами аксиоматических систем служат геометрия Евклида и теория пределов. Данное учебное пособие состоит из трех глав, в каждой из которых рассматриваются свои аксиоматические системы. Первая глава посвящена алгебре высказываний, основным понятием которой является элементарное высказывание. С помощью этого понятия определяются составные высказывания и исследуются вопросы зависимости их истинностных значений от элементарных высказываний. Рассматривается соответствие между составными высказываниями и логическими функциями, изучаются проблемы полноты систем функций и минимизации дизъюнктивных нормальных форм. Вторая глава содержит сведения о простейшем исчислении математической логики – исчислении высказываний, содержательной интерпретацией которого является алгебра высказываний. В этой главе приведены понятия доказуемости и выводимости формул исчисления высказываний и доказана обобщенная теорема дедукции. В третьей главе излагаются основные вопросы логической системы, дополняющей алгебру высказываний, – логики предикатов и в довольно компактном виде охарактеризовано исчисление предикатов. В пособии также затронуты проблемы приложения математической логики в различных областях науки и техники. Применение принципов математической логики весьма разнообразно: от автоматического доказательства теорем (важной области исследований по искусственному интеллекту) до конкретных задач синтеза автоматов, проектирования электронных управляющих устройств; от проблем математической лингвистики, связанных с построением информационных машин, способных не только хранить и выдавать научную информацию, но и обрабатывать ее, до разработки алгоритмов решения экономических задач и задач управления.

 

 

Прочитайте задачу. 1

На развилке двух тропинок в лесу вы встретили очень хитрую Лису, которая всегда лжёт. Лиса знает, какая из двух тропинок ведёт к деревне, а какая — в болото. Придумайте один вопрос, по ответу на который можно точно определить, какая тропинка ведёт в деревню. Обратите внимание, что Лиса ответит на вопрос только «да» или «нет». Объясните, почему этот вопрос подходит.

 

1. Если в задаче есть предложение, которое может быть истинным или ложным, то можно по очереди проверить обе возможности.

2. Если в задаче требуется придумать вопрос, то можно предложить разные варианты и выбрать из них тот, который подходит ко всем условиям задачи. 3. Если нужно придумать вопрос, на который один и тот же персонаж дает разные ответы, то можно определить, что изменяется между вопросами со временем.

 

Критическое мышление

Базовый уровень

Прочитайте советы лисички по решению задач с высказываниями.

Вопросы для построения подводящего диалога

1. Есть ли в этой задаче предложения, которые могут быть истинными или ложными (высказывания)?

2. Истинность каких высказываний можно быстро проверить?

3. Есть ли вопросы, ответы на которые изменяются со временем? Почему они изменяются?

Как проверить

Решение нужно проверить на соответствие всем условиям задачи.

Замечания к задачам занятия

В задачах на придумывание вопросов существуют и другие подходящие варианты. В случае, если вариант вопроса, предложенный школьником, не совпадает с одним из предложенных вариантов, нужно помочь его проверить.

Решение

Назовём тропинки левой и правой. Можно задать вопрос про левую тропинку: «Эта тропинка ведёт в деревню?» Объясним, почему этот вопрос подходит.

1) Если Лиса ответит «да», то это ложь, эта тропинка ведёт в болото. Значит, в деревню ведёт правая тропинка.

2) Если Лиса ответит «нет», то это ложь, значит, эта тропинка ведёт в деревню. В обоих случаях получилось по ответам Лисы однозначно определить, какая тропинка ведёт к деревне.

Ответ: «Левая тропинка ведёт в деревню?»

Краткая запись

«Левая тропинка ведёт в деревню?» ДА (ложь) ⇒ Левая тропинка не ведёт в деревню. ⇒ Правая тропинка ведёт в деревню. НЕТ (ложь) ⇒ Левая тропинка ведёт в деревню.

Замечание 1

Существуют и другие варианты подходящего вопроса, например: «Левая тропинка ведёт в болото?»

Замечание 2

В ходе обсуждения решения задачи можно продемонстрировать шаблон алгоритма выбора тропинки:

Прочитайте задачу. 2

Пётр, Андрей и Ерофей рассматривают календарь. «Сегодня понедельник», — сказал Пётр. «Завтра вторник», — сказал Андрей. «А вчера была суббота», — сказал Ерофей. Могут ли все трое быть правы?

Подсказка

Подумайте, в какой день недели могли происходить события в задаче.

 

 

 

 

Критическое мышление

Базовый уровень

Решение

1-й способ

Если все трое правы, то сегодня понедельник, завтра — вторник, а вчера была суббота. Но перед понедельником идет воскресенье. Значит, все не могут быть правы.

2-й способ

Если все трое правы, то Пётр прав и сегодня понедельник. Тогда вчера было воскресенье. Но это противоречит словам Ерофея. Значит, все не могут быть правы.

Ответ: нет.

Замечание

Для лучшего понимания задачи можно предложить школьникам составить или схему на основе линии времени:

 

Прочитайте задачу. 3

Межпредметная связь

Илья Муромец всегда говорит правду, а хитрый

Соловей-разбойник всегда врет. Придумайте вопрос, на который оба они ответят одинаково. Объясните свой ответ.

Подсказка

Можно придумать вопрос про самих героев.

 

 

Критическое мышление

Повышенный уровень

Угадайте, к какому жанру относятся строки.

Учитель читает

Из того ли то из города из Мурома, Из того села да Карачарова Выезжал удаленький дородный добрый молодец. Он стоял заутреню во Муроме, А й к обеденке поспеть хотел он в стольный Киев-град. Да й подъехал он ко славному ко городу к Чернигову.

Это русская былина.

А что такое былина?

Былина — это фольклорная эпическая песня, где основой сюжета является какое-либо героическое событие или примечательный эпизод русской истории.

Давайте попробуем решить задачу про Илью Муромца и Соловья-разбойника.

Можно задать вопрос:

«Ты Илья Муромец?»

На вопрос про себя Илья Муромец честно ответит «да», а Соловей-разбойник солжёт и тоже ответит «да».

Запись на доске и в тетради

«Ты Илья Муромец?» ИМ: верно, говорит правду, ответит «да». СР: неверно, лжёт, ответит «да».

Ответ: «Ты Илья Муромец?»

Замечание

Могут быть и подходящие вопросы, на которые оба персонажа ответят «нет», например: «Ты Соловей-разбойник?»

 

 

Литература

1. Аляев, Ю. А. Дискретная математика и математическая логика : учеб. для вузов / Ю. А. Аляев, С. Ф. Тюрин. – М. : Финансы и статистика, 2006.

2. Ершов, Ю. Л. Математическая логика : учеб. пособие для вузов / Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин. – СПб. : Лань, 2005.

3. Клини, С. К. Математическая логика : пер. с англ. / С. К. Клини ; под ред. Г. Е. Минца. – М. : УРСС, .

4. Петерсон «Математика и логика»

1. file0.docx (49,5 КБ)

Опубликовано: 08.11.2024