Подготовка младших школьников к олимпиадам по математике

Автор: Холодова Наталья Викторовна

Организация: МБОУ средняя школа №4 г.Выксы

Населенный пункт: Нижегородская область, г.Выкса

Учебное содержание

Предметные цели

1. Актуализировать знания о разложении чисел на простые множители, простых и составных числах, взаимно простых числах, признаках делимости.

2. Тренировать умение производить перебор вариантов и доказывать, что других вариантов нет.

3. Сформировать представление о признаках делимости на 7, 11, 13, связанных со свойствами числа 1001.

Для нахождения канонического разложения больших чисел без калькулятора можно воспользоваться методами факторизации и деления. Давайте начнем с числа 16088437: 1. Начнем с наименьшего простого числа, которое делит 16088437. Наименьшее простое число - это 2, но оно не делится на 16088437, так как оно нечётное. 2. Затем попробуем делить на 3. Если число делится на 3, то продолжим делить его на 3 до тех пор, пока оно не перестанет делиться на 3. Это позволит нам найти все множители 3. 16088437 / 3 = 5362812 + 1 Не делится. Продолжим. 5362812 / 3 = 1787604 1787604 / 3 = 595868 + 4 595868 / 3 = 198622 + 2 198622 / 3 = 66207 + 1 Не делится. Продолжим. 66207 / 3 = 22069

Задача-ключ

Разложите на простые множители следующие числа: 222, 2222, 222222.

Решение 1) Число 222 делится на 3 и на 2. 222 : 3 : 2 = 37, это простое число, поэтому 222 = 2 ∙ 3 ∙ 37.

2) Число 2222 делится на 11 и на 2, 2222 : 11 : 2 = 101, это простое число, поэтому 2222 = 2 ∙ 11 ∙ 101.

3) Число 222222 делится на 222, 222222 = 222 ∙ 1001 = 2 ∙ 3 ∙ 37 ∙ 1001. Число 1001 = 7 ∙ 11 ∙ 13.

Поэтому 222222 = 2 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 37.

Ответ: 1) 2 ∙ 3 ∙ 37, 2) 2 ∙ 11 ∙ 101, 3) 2 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 37. Советы о разложении числа на простые множители

1. Если известные признаки делимости не помогают найти делитель числа, можно начать делить число на маленькие простые числа с неизвестными признаками делимости.

2. Число 1001 (число «Шахерезады») раскладывается на простые множители так: 1001 = 7 ∙ 11 ∙ 13. Возьми на заметку! Совет 2 в дальнейшем поможет открыть и доказать признаки делимости на числа 7, 11, 13.

Вопросы для построения подводящего диалога

1. О делимости на какие числа идет речь в задаче? 2. Знаешь ли ты признаки делимости на эти числа? Если да, то сформулируй их. Если нет, то проверь делимость по определению.

Как проверить

Проверь делимость по определению.

 

 

Основные задания

1. Несчастливые числа Стас считает числа, которые делятся на 13, несчастливыми. Он написал на доске четырехзначное число, все цифры в котором одинаковые. Может ли написанное число быть несчастливым?

Подсказка

1. На какое четырехзначное число делится любое из тех, которые мог записать Стас?

Решение

Обозначим цифры записанного Стасом числа за n. Тогда число можно представить как n ∙ 1111, где n — ненулевая цифра (то есть n взаимно просто с 13). Разложим 1111 на простые множители: 1111 = 101 ∙ 11. Получаем, что в разложении записанного Стасом числа на простые множители нет 13. Значит, оно не делится на 13, и записанное число не может быть несчастливым. Ответ: нет.

Замечание

Существует способ решения, основанный на полном переборе вариантов четырехзначных чисел, все цифры в которых одинаковы (1111, 2222, …, 9999). В этом случае отсутствие делимости на 13 можно проверить делением. Когда сумма равна произведению

Придумай какие-нибудь 15 натуральных чисел, и сумма, и произведение которых равны 24. Подсказка Числа могут повторяться. Решение Подойдут числа: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 (13 единиц), 3, 8. Ответ: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 8. Проверка 1 ∙ 13 + 3 + 8 = 24, 1 ∙ … ∙ 1 ∙ 3 ∙ 8 = 24, всего 13 + 1 + 1 = 15 чисел. Путь к решению

Чтобы произведение нескольких чисел было равно 24, нужно, чтобы в них были множители 2, 2, 2, 3. Оставшиеся числа окажутся единицами. Рассмотрим все варианты разложения числа 24 на множители (не учитывая умножения на единицы и порядок множителей): 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3, 24 = 4 ∙ 2 ∙ 3 , 24 = 8 ∙ 3, 24 = 4 ∙ 6 , 24 = 2 ∙ 2 ∙ 6. Проверим каждый из этих вариантов.

1) 2 + 2 + 2 + 3 = 9, нужно еще 24 – 9 = 15 единиц. Не подходит, так как получится больше 15 чисел.

2) 4 + 2 + 3 = 9, нужно еще 15 единиц. Не подходит.

3) 8 + 3 = 11, нужно еще 13 единиц. Подходит, получается 15 чисел.

4) 4 + 6 = 10, нужно еще 14 единиц. Не подходит.

5) 2 + 2 + 6 = 10, нужно еще 14 единиц. Не подходит. Если брать в качестве множителя само число 24, то сумма будет больше 24. Таким образом, доказано, что указанный пример — единственный.

 

 

Ребус

Реши ребус (напомним, что в ребусе одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры): Д ∙ Ы ∙ М = К ∙ О ∙ С ∙ Т ∙ Е ∙ Р.

Подсказка

Сколько всего разных цифр зашифровано в этом ребусе?

Решение

Всего в ребусе 9 разных букв, то есть зашифровано 9 разных цифр. Если бы среди этих цифр был 0, то значение выражения в одной из частей было бы равно 0. Тогда и в другой части произведение должно быть равно нулю. Но оно не может быть равно 0, так как все цифры различны. Если среди зашифрованных 9 цифр нет 0, то это все цифры от 1 до 9.

1-й способ (делимость на 5) Среди всех цифр есть цифра 5. Тогда то из произведений (в левой или правой части равенства), в котором есть этот множитель, делится на 5. Но никакая другая ненулевая цифра не делится на 5. Значит, произведение в другой части не делится на 5, а значит равенство не может быть верным (число, делящееся на 5, не может равняться числу, не делящемуся на 5).

2-й способ (делимость на 7) Среди всех цифр есть цифра 7. Тогда то из произведений, в котором есть этот множитель, делится на 7. Но никакая другая ненулевая цифра не делится на 7. Значит, равенство не может быть верным.

3-й способ (оценка с двух сторон) Рассмотрим значение выражения Д ∙ Ы ∙ М. Так как все цифры различны, то оно не превосходит 9 ∙ 8 ∙ 7 = 504. Теперь рассмотрим значение выражения К ∙ О ∙ С ∙ Т ∙ Е ∙ Р.

Так как все цифры различны, то оно не меньше, чем 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720. Число, не большее 504, не может быть равно числу, большему или равному 720. Значит, равенство не может быть верным. Ответ: ребус не имеет решений. Замечание

Обратите внимание, что формулировка решения 3-м способом (с помощью двусторонней оценки) должна быть аккуратной. Школьникам необходимо указать на то, что рассуждения вроде «возьмем за Д, Ы, М самые большие разные цифры, а за К, О, С, Т, Е, Р — самые маленькие» должны быть подкреплены доказательством того, что в других случаях равенство также не может достигаться (например, тут можно сослаться на то, что при уменьшении натуральных множителей произведение уменьшается). Использование двусторонней оценки с помощью знаков «больше или равно» («не меньше») и «меньше или равно» («не больше»), как в приведенном решении, позволяет избежать затруднений, связанных с необходимостью такого доказательства.

 

 

1т. Удивительные числа

Назовем числа, делящиеся на 37, удивительными. Докажи, что любое девятизначное число, все цифры в котором одинаковые, является удивительным.

Решение

Пусть все цифры данного девятизначного числа — n. Тогда это число можно представить как n ∙ 111 111 111. Разложим число 111 111 111 на множители: 111 111 111 = 111 ∙ 1 001 001 = 3 ∙ 37 ∙ 1 001 001. Это число делится на 37, значит, и исходное девятизначное число делится на 37.

 

2т. Когда сумма равна произведению

Можно ли подобрать 22 натуральных числа, и сумма, и произведение которых равны 32? Решение

Да, это числа 4, 8, 1, …, 1 (20 единиц). Проверка 1 ∙ 20 + 4 + 8 = 32, 1 ∙ … ∙ 1 ∙ 4 ∙ 8 = 32, всего 20 + 1 + 1 = 22 числа. Ответ: да.

 

3т.

Взаимно простые

Придумай четыре составных двузначных числа, каждые два из которых взаимно простые. Решение Например, подойдут числа: 25 = 5 ∙ 5, 26 = 2 ∙ 13, 33 = 3 ∙ 11, 49 = 7 ∙ 7

Проверка

Ни у каких двух из данных чисел нет одинаковых простых делителей. Значит, каждые два из чисел взаимно просты. Ответ: 25, 26, 33, 49.

Как проверить

Существуют и другие подходящие примеры. Чтобы проверить их правильность, можно разложить каждое из двузначных чисел на простые множители.

Во-первых, множителей должно быть хотя бы 2 (чтобы числа были составными), а во-вторых, у разных чисел эти простые множители не должны повторяться.

Путь к решению

Для того чтобы числа были составными, у них должно быть хотя бы два простых множителя в разложении на простые. Чтобы каждые два числа были взаимно просты, нужно, чтобы у разных чисел не повторялись простые делители. Поэтому подходящий пример можно попробовать сконструировать, перемножая по два маленьких (чтобы произведение было двузначным) простых делителя.

 

 

 

Литература

1. Рабочая концепция одаренности: Федеральная целевая программа «Одаренные дети» / Под ред. Д. Б. Богоявленской, В. Д. Шадрикова. — М.: Министерство образования РФ, 2003. (http://narfu. ru/school/deti_konchep.pdf) 2. Петерсон Л. Г. Система и структура учебной деятельности в контексте современной методологии. Монография / Л. Г. Петерсон, Ю. В. Агапов, М. А. Кубышева и др. — М.: Институт СДП, 2018. 3. Петерсон Л. Г. Деятельностный метод обучения: построение непрерывной сферы образования / Л. Г. Петерсон, М. А. Кубышева и др. — М.: АПК и ППРО; УМЦ «Школа 2000…», 2007.

1. file0.docx (19,8 КБ)

Опубликовано: 08.11.2024