Представлены алгоритм построения сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости и алгоритм построения сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой. Приводятся краткие теоретические сведения, а также ко всем задачам даются решения и ответы

Стоит отметить, что ни один школьный УМК не содержит задачного материала для отработки построения сечений по представленным алгоритмам.

Материалы предназначены для учителей математики и обучающихся 10 - 11 классов.

 

Введение

Проблема в обучении геометрии часто заключается в том, что ученики не всегда могут визуализировать, представить себе геометрические конфигурации и увидеть необходимость использования той или иной теоремы. Для понимания требуется развитие пространственного воображения. Использование разнообразных методов и подходов может помочь ученикам лучше воспринимать и анализировать геометрические формы и их свойства. Одним из путей решения данной проблемы может являться использование геометрических конструкций в обучении геометрии.

Геометрические конструкции — это базовые модели и схемы, которые помогают понять и усвоить геометрические конфигурации, соответствующие некоторому геометрическому утверждению, а также научиться применять их на практике. Такие конструкции выполняют контекстную функцию: они проявляют свойства данных и искомых геометрических фигур, зачастую определяя способ решения задачи. Наглядно представить форму и структуру объемных фигур и использовать их для решения геометрических задач помогают сечения.

Построить сечение многогранника плоскостью — это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника. Точки пересечения плоскости сечения с ребрами многогранника будут вершинами, а отрезки, принадлежащие граням, — сторонами многоугольника, получающегося в сечении многогранника плоскостью.

 

Примеры:

Построить сечение многогранника плоскостью — это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника. Точки пересечения плоскости сечения с ребрами многогранника будут вершинами, а отрезки, принадлежащие граням, — сторонами многоугольника, получающегося в сечении многогранника плоскостью.

Анализ результатов ЕГЭ по математике показывает, что основная трудность при решении стереометрических задач связана не столько с недостатками, вызванными незнанием формул и теорем или неумением их применять, сколько с недостаточно развитыми пространственными представлениями, неумением правильно изобразить пространственную ситуацию, указанную в задаче.

Основные типы сечений, встречающиеся в экзаменационных вариантах:

• − сечение задано тремя точками, не лежащими на одной прямой;
• − сечение проходит через две указанные точки или через прямую, параллельно заданной

прямой;

• − плоскость сечения проходит через указанную точку перпендикулярно заданной прямой;
• − плоскость сечения проходит через указанную прямую перпендикулярно заданной плоско

Сформированность наглядных представлений об изученных стереометрических фигурах, а также умения строить сечения, проводить доказательства, пользуясь изученными фактами о взаимном расположении прямых и плоскостей, находить геометрические величины, пользуясь теоремами об объёмах и площадях поверхности геометрических тел, проверяют задачи формата № 14 на ЕГЭ по математике профильного уровня. Развитие умений решать такие задания важно для успешного продолжения образования не только по инженерным, но и по IT-специальностям.

Перечень элементов содержания/умений и видов деятельности, усвоение которых всеми школьниками Челябинской области в 2024 году, представлен в таблице:

 

№ задания	Проверяемые требования (умения)	Коды проверяемых требований к уровню подготовки (по кодиф.)	Коды проверяемых элементов содержания (по кодиф.)	Средний % выполнения по региону	Уровень подготовки
14	Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, отрезок, луч, величина угла, плоский угол, двугранный угол, трехгранный угол, скрещивающиеся прямые, параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей, угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми, расстояние между плоскостями; площадь фигуры, объём фигуры, многогранник, поверхность вращения, площадь поверхности, сечение; умение строить сечение многогранника, изображать многогранники, фигуры и поверхности вращения, их сечения; использовать геометрические отношения при решении задач; находить и вычислять геометрические величины (длина, угол, площадь, объём, площадь поверхности), используя изученные формулы и методы; умение использовать при решении задач изученные факты и теоремы планиметрии	9,10,11	7	4,68 %	Не достаточный

 

Рабочая тетрадь разработана с целью формирования у школьников умения решать задачи формата № 14 (геометрия) ЕГЭ по математике профильного уровня, используя:

• − метод построения сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;
• − метод построения сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Предлагаемые задачи позволят отработать необходимые навыки решения задач на построение сечений двумя методами.

Ожидаемый результат использования учителем рабочей тетради - выработка умения у обучающихся уверенно решать задачи формата №14 на ЕГЭ по математике профильного уровня.

 

 

§1. Основные свойства прямых и плоскостей в пространстве

 

Аксиомы

1. Какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Теоремы

1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Параллельность прямых и плоскостей. Теоремы.

1. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. (Признак параллельности прямой и плоскости.)

2. Две плоскости параллельны, если одна из них параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости. (Признак параллельности двух плоскостей.)

3. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

4. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

5. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теоремы.

 

1. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения, то она перпендикулярна плоскости. (Признак перпендикулярности прямой и плоскости.)

2. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

4. Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. (Теорема о трёх перпендикулярах.)

5. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. (Признак перпендикулярности плоскостей.)

6. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.

 

Полный текст статьи см. приложение

Приложения: