Алгоритм решения тригонометрических уравнений

Автор: Магонова Наталья Александровна

Организация: ЧОУ «Гимназия №1»

Населенный пункт: Краснодарский край, г. Новороссийск

Алгоритм решения тригонометрических уравнений.

Математика – одна из самых сложных школьных дисциплин (не зря же только математика представлена на ЕГЭ в двух уровнях сложности). Она вызывает трудности у многих учащихся. В то же время есть дети, которые имеют явно выраженные способности к этому предмету, и дети, для которых математика – вечная проблема. Как сделать так, чтобы каждый ребенок лучше, чем ранее, развил свой потенциал и был успешен на итоговой аттестации по математике? Я для себя решила, что нужно создать систему работы или модель организации учебного процесса для повышения качества математического образования, которая позволяет обеспечить высокий уровень подготовки обучающихся к ЕГЭ. Оказалось - это непростая задача. Но её обязательно нужно решить. Я хочу сегодня показать вам некоторые свои наработки или пути, которые я нашла для решения этой задачи.

По словам Блеза Паскаля: «Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным». Я позволила себе немного перефразировать автора и для своей работы взять за основу следующее высказывание: «Предмет математика настолько сложен, что полезно не упускать случаев делать его немного доступнее»

Решать задачу «вскипятить чайник» физик и математик будут одинаково: нальют воду, включат плиту, поставят на неё чайник и доведут его содержимое до 100 °С. А вот задачу «вскипятить, наполненный водой чайник» поймут по-разному. Физик: «Включим плиту, поставим, нагреем». Математик: «Выльем воду из чайника, и сведём задачу к предыдущей» Как ни странно, и физик, и математик правы относительно решения второй задачи. Конечно, физик получил результат, совершив при этом минимальное количество действий. Но и математик пришёл к решению оптимально, только по-своему — с минимальным количеством рассуждений.

Я уже долгое время активно использую в процессе обучения математике алгоритмы и модели задач, ориентированные на повышение качества математического образования. Систематическое использование алгоритмов решения задач, их конструирование и совершенствование развивает навыки моделирования решений задач, готовит к овладению информационными технологиями. Добиться этого можно поддержанием алгоритмического характера самой учебной деятельности. Необходимо соответствующим образом организовать передачу учащимся учебного материала и требований по обратной связи. Используя существующие учебные средства, я имею запас готовых алгоритмов по различным темам школьного курса математики.

Сегодня я хочу рассказать Вам о моем «изобретении велосипеда». Я давно использую алгоритм при обучении ребят решению тригонометрических уравнений. Этот алгоритм сложился сам собой после достаточно долгой работы в старших классах. И вот, когда я захотела обобщить материал по этой теме, я наткнулась на статью учителя Александра Калинкина в «Учительской газете» за 1998 год. Он очень доступно преподнес алгоритм решения тригонометрических уравнений. Я хочу поделиться с вами «нашими» размышлениями на эту тему. Мне кажется будет полезно еще раз обратить внимание на этот способ.

Алгоритм был представлен в виде блок-схемы. Я тоже оформила свой алгоритм в виде блок схемы, но использовала уже более современную программу для его составления Diagram Designer.

Обучение учеников навыкам решения уравнений с применением алгоритма начинается с разъяснения входящих в него терминов. Вот, что предлагает автор статьи:

«Определение 1. Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное содержится под зна­ком тригонометрических функций.

Определение 2. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые углы, если все тригонометричес­кие функции, входящие в него, имеют равные аргумен­ты. Говорят, что в тригонометрическом уравнении оди­наковые функции, если оно содержит только одну из' тригонометрических функций.

Определение 3. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней, входящих в него перемен­ных.

Определение 4. Степенью одночлена, содержащего тригонометрические функции, называется сумма пока­зателей степеней тригонометрических функций, входя­щих в него.

Определение 5. Уравнение называется однород­ным, если все одночлены, входящие в него, имеют одну и ту же степень. Эта степень называется порядком урав­нения.

Определение 6. Тригонометрическое уравнение, со­держащее только функции sin и соs, называется одно­родным, если все одночлены относительно тригономет­рических функций имеют одинаковую степень, а сами тригонометрические функции имеют равные углы и чис­ло одночленов на 1 больше порядка уравнения.

Определение 7. Тригонометрическое уравнение на­зывается почти однородным, если один одночлен явля­ется числом, а степени остальных, одночленов равны.»

Чтобы полностью разобраться с алгоритмом, необходим набор уравнений «подобранных таким образом, чтобы в процессе решения были использованы практически все блоки алгоритма». Этот набор уравнений я выбрала из базы данных ЕГЭ .

Тригонометрические уравнения из ЕГЭ прошлых лет:

1. Приводящиеся к квадратным:
2. Разложение на множители с помощью вынесения общего множителя:
3. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения:
4. Разложение на множители с помощью группировки:
5. Однородные 1-ой степени:
6. Однородные 2-ой степени:
7. Почти однородные 1-ой степени:
8. Почти однородные 2-ой степени:

Все уравнения я разместила в конце статьи.

После применения данного алгоритма в течение нескольких лет, я могу подтвердить слова автора, что «блок-схема помогает настолько быстро овладеть приёмами поиска пути решения тригонометрических уравнений, что на заключительном этапе выполнения индивидуальных заданий ученики перестают ею пользоваться».

Данный опыт приводит к неплохим результатам ЕГЭ. В этом году профильный уровень экзамена по математике сдавали 100% класса. Учитывая, что я работаю в лингвистической гимназии, можно предположить, что большинство ребят «гуманитарии». Однако, мы показываем всегда блестящий результат (каждый год Гимназия №1 входит в 10 лучших школ по результатам ЕГЭ).

В итоге моего выступления хочу сказать: надо прекратить пугать учеников предстоящим ЕГЭ и начать формировать у них твердое убеждение в том, что если очень постараться, то можно получить вполне приличный балл: время для подготовки еще не потеряно. Конечно, не следует перегибать палку и внушать школьникам, что ЕГЭ - это легко и просто, но не нужно и внушать им мысль о полной безнадежности. Начните с вопроса: «Что каждый из вас хочет получить на ЕГЭ?». Таким образом, сразу определится планируемый результат обучения, важно, чтобы школьник сам честно сформулировал его для себя. Этот разговор дает возможность учитывать актуальный потолок обучаемого, но это не значит, что его следует занижать или считать, что этот потолок неизменен, что, однажды наметив его, следует на него постоянно ориентироваться. Всегда есть возможность двигаться вверх и вперед. Что мы и делаем.

Полный текст статьи см. в приложении.