ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

В рамках модернизации школьного образования факультативные курсы становятся неотъемлемой частью учебного процесса.

Актуальность данного курса обусловлена рядом факторов:

• Результаты Единого государственного экзамена свидетельствуют о существенных трудностях, с которыми выпускники сталкиваются при решении уравнений, содержащих параметры.
• Необходимость развития у школьников логического мышления и повышение их математической культуры.
• Тесная связь задач с параметрами и модулем с физическими процессами и геометрическими закономерностями.
• Значительная доля (около 50%) заданий для абитуриентов представлена именно такого типа задачами, что определяет основные цели курса.

Практический опыт показывает, что задачи с параметрами и модулем вызывают наибольшие затруднения у учащихся как в плане логики, так и в плане вычислительных навыков. Следовательно, уравнения и неравенства, включающие параметры и модули, представляют собой один из наиболее сложных разделов школьной математики. Этот элективный курс знакомит школьников с функционально-графическими методами решения алгебраических задач с параметрами и модулями. Школьная программа уделяет недостаточно внимания этим темам, и данный практикум призван восполнить этот пробел. Параллельно с этим, курс направлен не только на углубление и расширение знаний учащихся, но и на развитие их интереса к предмету, любознательности и логического мышления.

Решение уравнений, неравенств и систем, содержащих параметры и модули, открывает учащимся доступ к множеству эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности и применимых в дальнейших исследованиях и при изучении другого математического материала.

Данный курс призван сократить разрыв между требованиями вузов к абитуриентам и уровнем подготовки выпускников школ. Особой установкой курса является подготовка учащихся к вступительным испытаниям в вузы соответствующего профиля.

Элективный курс рассчитан на 34 учебных часа для учащихся 11 класса общеобразовательных школ. Он требует от учащихся значительной самостоятельной работы, способствует их подготовке к дальнейшему образованию и повышению общего уровня математической культуры. Курс имеет как прикладное, так и общеобразовательное значение, стимулирует развитие логического мышления, концентрации внимания и математической культуры, расширяет рамки школьной программы по математике, побуждает к исследовательской деятельности и существенно повышает графическую культуру школьников. Воспитательный эффект курса заключается в формировании таких личностных качеств, как трудолюбие, целеустремленность и аккуратность.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА:

• Изучение методов решения задач избранного класса и формирование умений для их применения.
• Формирование у учащихся представления о задачах с параметрами и модулем как об исследовательских задачах, демонстрация их многообразия.
• Обучение применению аналитического метода и решению задач с параметрами и модулем.
• Обучение приемам построения графиков и их применению при решении задач с параметрами и модулем.
• Формирование умения выбирать рациональный метод решения задач и обосновывать свой выбор.
• Развитие устойчивого интереса к математике и повышение математической культуры учащихся.
• Привитие навыков использования функционально-графического метода при решении задач.
• Содействие подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.

ВИДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ:

• Лекция; беседа; практикум; консультация; работа на компьютере.

ФОРМА ОБУЧЕНИЯ:

• Коллективная; групповая.

КОНТРОЛИРУЮЩИЙ МАТЕРИАЛ:

• Тесты.

ТРЕБОВАНИЯ К ЗНАНИЯМ И УМЕНИЯМ: в результате изучения курса учащиеся должны уметь

• Решать линейные и квадратные уравнения с параметром.
• Строить графики элементарных функций и их комбинаций, усложненных модулями.
• Решать иррациональные, логарифмические, тригонометрические, показательные уравнения с параметром как аналитически, так и графически.
• Применять аппарат алгебры и математического анализа для решения прикладных задач.
• Иметь четкое представление о возможностях функционально-графического подхода к решению различных задач.

ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ: в результате изучения курса учащиеся должны:

• уметь решать линейные, квадратные уравнения и неравенства, система двух линейных уравнений с двумя переменными, несложные иррациональные уравнения с одним параметром при всех значениях параметра;
• использовать в решении задач с параметром свойства квадратичной и линейной функции;
• устанавливать свойства функции у = х^р, у = и изображать их графики при различных значениях р и п;
• изображать графики функции у = f(x-a) + b, y = af(bx) по известному графику функции у = f(x);
• изображать графики функции

и уравнений

по известному графику функции у = f(x);

• использовать графики функции и уравнений при изображении множеств точек плоскости, заданных неравенствами, системами неравенств;
• овладеть методами решения задач с параметрами и модулем с использованием графических интерпретаций;
• осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;
• владеть техникой использования каждого метода.

ФОРМЫ КОНТРОЛЯ: домашние контрольные работы, рефераты и исследовательские работы.

СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

11 класс (34 часа)

1. Понятие модуля и его применение в уравнениях (2 часа). Изучение определения модуля числа, его связи с расстоянием. Методы избавления от знака модуля в уравнениях, включая уравнения с несколькими модулями, параллельное раскрытие и метод интервалов. Рассмотрение связи модуля и квадратов.
2. Графическое представление функций с модулем (2 часа). Построение графиков элементарных функций, содержащих модуль как у аргумента, так и у самой функции, включая двойные модули. Создание графиков уравнений и соответствий с модулем. Знакомство и работа с программами для построения графиков.
3. Решение уравнений через системы и совокупности (3 часа). Изучение различных типов уравнений: рациональных (однородных, симметрических, возвратных), иррациональных (простейших, с несколькими радикалами, полной подкоренной функцией, с заменой переменной, посторонними корнями, с использованием свойств функций), показательных, логарифмических и тригонометрических, сводящихся к квадратным. Цель: систематизация навыков решения рациональных и иррациональных уравнений, формирование умений решать их с параметрами и модулем. Начинается с повторения уравнений основной школы, вводится понятие равносильности и принципы преобразований уравнений.
4. Рациональные неравенства с модулем и параметром. Обобщенный метод интервалов (2 часа). Решение неравенств методом интервалов, включая неравенства с одним модулем и способы избавления от него. Рассмотрение методов решения рациональных неравенств (разложение на множители, выделение полного квадрата, приведение к общему знаменателю).
5. Введение в задачи с параметрами (1 час). Определение параметра, основные формы постановки задач с ним, графическая интерпретация и методы решения простейших задач.
6. Задачи с параметрами, связанные с квадратным трехчленом (2 часа). Условия существования и расположения корней квадратного трехчлена относительно точки или отрезка. Графическая интерпретация. Цель: формирование представления о методах решения задач с параметрами с помощью графических интерпретаций, развитие аналитических навыков.
7. Применение графических иллюстраций в задачах с параметрами (2 часа). Решение задач путем построения графиков левой и правой частей уравнений/неравенств и анализа полученных графиков. Изучение области определения, множества значений, четности, монотонности и периодичности функций.
8. Методы составления задач с параметрами (1 час). Демонстрация приема составления задач методом «от картинки к задаче».
9. Использование ограниченности функций (2 часа). Применение метода оценки левой и правой частей уравнений/неравенств. Рассмотрение «полезных неравенств» (взаимно обратные числа, сумма синуса и косинуса, среднее арифметическое и геометрическое).
10. Приведение к уравнению относительно неизвестной с параметром (2 часа). Основные приемы решения уравнений: тождественные преобразования, замена переменной, равносильность, устранение посторонних корней. Решение рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.
11. Графический способ решения уравнений и неравенств (2 часа). Систематизация знаний о функциях вида и . Построение графиков с использованием переноса, растяжения/сжатия, симметрии. Акцент на обоснование преобразований и построение областей, заданных неравенствами.
12. Сочетание графического и алгебраического методов (2 часа). Приемы решения систем уравнений и неравенств. Сравнение графического и алгебраического способов. Решение и исследование уравнений, неравенств и систем с параметрами.
13. Применение производной в задачах с параметрами. Экстремумы (2 часа). Производная сложной функции, касательная, вторая производная. Исследование функций с помощью производной. Применение производной для решения задач с параметрами и нахождения максимума/минимума.
14. Комбинированные задачи: модуль и параметры. Обобщенный метод областей (4 часа). Перенос метода интервалов на плоскость. Решение задач нахождения площади фигур. Применение метода областей к уравнениям и неравенствам с параметрами и модулем.
15. Нетрадиционные задачи. Задачи ЕГЭ (5 часов). Использование экстремальных свойств функций, решение нестандартных задач, задач с параметром, логическим содержанием. Практикум по решению заданий ЕГЭ прошлых лет.

ПРИМЕРНОЕ Планирование

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧЕНИКА.

1. Алгебра: Учебник для 7 классов общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворова; Под редакцией С.А. Теляковского. -12-е. – М.: Просвещение, 2006.
2. Алгебра: Учебник для 8 классов общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворова; Под редакцией С.А. Теляковского. -11-е. – М.: Просвещение, 2005.
3. Алгебра: Учебник для 9 классов общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворова; Под редакцией С.А. Теляковского. -10-е. – М.: Просвещение, 2004.
4. Алгебра: 8 класс.: Задачник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. -3-е изд., испр. М.: Мнемозина, 2006.
5. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудицин и др.; Под редакцией А.Н. Колмогорова. -12-е изд. – М.: Просвещение, 2005.
6. Балаян Э.Н. Микросправочник по математике для выпускников и абитуриентов. Ростов н/Д, 2002.
7. Балаян Э.Н. Репетитор по математике для поступающих в вузы. Ростов н/Д: изд-во «Феникс», 2003.
8. Балаян Э.Н. Математика. Сам себе репетитор. Задачи повышенной сложности. Серия «Абитуриент», Ростов на Дону: Изд-во «Феникс», 2004.
9. ЕГЭ 2010. Математика: репетитор / В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина. – М.: Эксмо, 2009. -320с.
10. Лаппо Л.Д., Попов М.А. Математика. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию. М.: изд-во «Экзамен», 2006.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ.

1. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике. – Минск.: Асар, 1996.
2. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для школ и классов с угулб. изуч. матем. – М.: Просвещение, 1995.
3. Гуськова Л.Н. Уравнения с параметрами. Методическое пособие. Казань 2006.
4. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия решения. –М.: Школа-Пресс, 1994.
5. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе: Пособие для учителя. –М.: Просвещение, 1996.
6. Иванов А.П. Тесты и контрольные работы для систематизации знаний по математике: Учебное пособие для абитуриентов. Ч. 1 и 2. – Пермь: Изд-во Перм. Ун-та, 2000.
7. Литвиенко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. – М.: ABF, 1995.
8. Лысенко Ф.Ф. ЕГЭ. Тесты. 2010.
9. Федеральный институт педагогических измерений. ЕГЭ математика. Новая версия. 2010.
10. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы. – М.: Просвещение, 1999.
11. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995.
12. Фельдман Я.С., Жаржевский А.Я. Математика. Решение задач с модулями: Пособие для абитуриентов и старшеклассников. – СПб.: Оракул, 1997.

Полный текст статьи см. в приложении.