Комплексные числа в школьном курсе математики

Автор: Литвин Анна Михайловна

Организация: ГБОУ «СШ № 38 г.о. Мариуполь» ДНР

Населенный пункт: г.Мариуполь

В рабочей программе дисциплины «Алгебра и начала математического анализа» углублённого уровня в 11 классе 10 часов, из которых 1 час- контрольная работа, отводится на изучение темы «Комплексные числа». К сожалению, в учебнике авторов Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин. М. В. Ткачёва и др., имеющемся в наличии в школах, данной темы нет. Учебник авторов А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков и др., в котором указанная тема есть, можно использовать в электронном виде, однако большой объём учебника, воспринимаемого с экрана монитора, психологически пугает многих учеников, мешает концентрации внимания, что неблагоприятно сказывается на качестве усвоения материала.

Учителю при подготовке к уроку полезно иметь банк заданий как для работы в классе, домашних заданий, так и для самостоятельных, контрольных работ.

В соответствии с Приказом Минпросвещения России от 09.10.2024 N 704 "О внесении изменений в некоторые приказы Министерства просвещения Российской Федерации, касающиеся федеральных образовательных программ начального общего образования, основного общего образования и среднего общего образования" (Зарегистрировано в Минюсте России 11.02.2025 N 81220) в образовательной программе по дисциплине «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 класс обозначены проверяемые на ЕГЭ по математике требования к результатам освоения основной образовательной программы среднего общего образования. Среди них есть пункт «Комплексные числа». Учащиеся должны оперировать понятием комплексное число, сопряжённое комплексное число, модуль, аргумент комплексного числа, знать различные формы записи комплексного числа, уметь проводить арифметические действия с комплексными числами.

В открытом банке тестовых заданий ФИПИ есть раздел, посвящённый комплексным числам. Однако стоит отметить, что в кодификаторе ЕГЭ 2026 года элементы содержания, связанные с комплексными числами, отсутствуют, то есть они не используются в актуальных экзаменационных материалах. Отсутствие темы в структуре ЕГЭ -2026 не даёт оснований не уделять ей должного внимания на уроках и не гарантирует её отсутствия на ЕГЭ в последующие годы. Ориентируясь на преемственность между школьным и вузовским математическим образованием, применение комплексных чисел при обучении по некоторым инженерным специальностям, например, связанным с электротехникой, энергетикой, начинается с первого курса, бывает раньше их изучения в курсе высшей математики. Это ещё один аргумент, обращающий внимание на указанную тему.

Учитывая вышеизложенное, предлагаю дидактические материалы, которые будут полезными и актуальными учащимся 11 класса, с углублённым изучением математики, поскольку в них в первой части конспективно изложено понятие комплексного числа, его модуля, аргумента, принципы геометрической интерпретации. Вторая часть содержит определения, свойства, правила выполнения арифметических операций, отображения множества комплексных чисел, удовлетворяющих заданным условиям, на плоскости. Также приведены примеры решения заданий разных типов. В третьей части предложены в большом количестве задания для отработки навыков работы с комплексными числами, отличные от заданий учебника авторов А. Г. Мерзляк и др. Кроме того, есть вопросы для самопроверки и приблизительные варианты контрольной работы. Содержание дидактических материалов соответствует проверяемым требованиям к результатам освоения основной образовательной программы среднего общего образования по теме «Комплексные числа».

Предложенный материал может быть полезен и учителям математики в качестве источника заданий. Наличие в основных типовых задачах по 30 тренировочных заданий даст возможность выдать каждому ученику индивидуальное домашнее задание.

Представленные материалы удобны для распространения среди обучающихся в электронном виде, лаконичны, акцентированы на основных понятиях темы.

Поскольку весь материал составляет 17 страниц и содержит множество формул, он прикреплён в приложении.

1. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
2. Краснов, М. Л. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости: Учебное пособие, 2-е изд., перераб. и доп. / М. Л. Краснов, А. И. Киселёв, Г. И.Макаренко – Москва: Наука, 1981. – 304 с.
3. Подольский, В. А. Сборник задач по высшей математике. Учеб. Пособие для техникумов / В. А. Подольский, А. М. Суходский – Москва: Высшая школа, 1974 – 352 с.
4. Математика. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углублённый уровень / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков [и др.]. – Москва: Просвещение, 2024. – 417 с. – ISBN 978-5-09-116503-6