Текстовые задачи на совместную работу

Автор: Яркина Елена Ивановна

Организация: ГБОУ Школа №1793

Населенный пункт: г.Москва

Актуальность проблемы

 

Задачи на совместную работу традиционно входят в курс математики 5–6 классов и являются пропедевтикой изучения дробей и пропорций. Однако, как показывает практика и результаты ВПР, именно эти задачи вызывают у шестиклассников наибольшие затруднения. Почему? Формальный подход, при котором ученик заучивает формулу A = v \cdot t, но не понимает физического смысла величины «скорость работы» (производительность), приводит к тому, что даже в 9 классе школьники с опаской берутся за «задачи про бассейны».

 

Цель данной статьи — представить систему работы, позволяющую сформировать у учеников 6 класса устойчивый навык решения задач на совместную работу, опираясь на логику, визуализацию и постепенную алгоритмизацию.

 

Этап 1: Актуализация знаний. От движения — к работе

 

Перед введением нового типа задач необходимо убедиться, что учащиеся свободно владеют понятием «скорость» и формулой пути. Я использую приём аналогии.

 

На доске появляется таблица:

 

Величина Движение Работа

Объект Расстояние (S) Объем работы (A)

Скорость процесса Скорость (v) Производительность (P)

Время Время (t) Время (t)

Формула S = v \cdot t A = P \cdot t

 

Методический комментарий: Ученики самостоятельно заполняют правый столбец, проводя аналогию. Важно подчеркнуть, что если в задаче не указан объем работы (не сказано, сколько литров в бассейне или сколько деталей в заказе), мы принимаем всю работу за единицу (1).

 

Этап 2: Введение понятия «производительность»

 

На этом этапе исключаем совместные действия. Учимся видеть, какую часть работы выполняет объект за единицу времени.

 

Задача 1 (вводная). Первый экскаватор может вырыть котлован за 6 часов. Второй — за 4 часа. Какую часть котлована выроет первый экскаватор за 1 час? Второй за 1 час?

 

Решение приводит к записи:

P_1 = \frac{1}{6} (котлована/час), P_2 = \frac{1}{4} (котлована/час).

 

Важно: Проговариваем, что производительность — это дробь, и знаменатель показывает, за сколько часов выполняется вся работа. Слабым ученикам помогают графические схемы, где отрезок (вся работа) делится на 6 или 4 части.

 

Этап 3: Совместная работа как сумма скоростей

 

Переходим к главному: если объекты работают вместе, их производительности складываются. Здесь я рекомендую отказаться от мгновенного введения формулы t = \frac{1}{P_1 + P_2}, а выводить её через логику.

 

Задача 2. Используя данные предыдущей задачи, найдем, какую часть котлована выроют оба экскаватора, работая вместе, за 1 час?

 

Ученики складывают дроби:

P_{общ} = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}.

 

Вопрос учителя: Если за час они вырывают \frac{5}{12} котлована, то сколько времени им потребуется, чтобы вырыть весь котлован?

Ученики догадываются: t = 1 : \frac{5}{12} = \frac{12}{5} = 2,4 часа или 2 часа 24 минуты.

 

Методический комментарий: На этом этапе запрещаю пользоваться калькулятором для перевода дробей в десятичные. Важно отработать навык деления единицы на сумму дробей.

 

Этап 4: Алгоритм решения (памятка для учащихся)

 

После разбора 2–3 аналогичных задач, мы выводим универсальный алгоритм действий. Я раздаю ученикам карточку-помощницу:

 

1. Прочитай условие. Определи, что является «всей работой». Если объем не указан, принимаем его за 1.

2. Найди производительность каждого объекта: P = \frac{1}{t} (где t — время выполнения всей работы одним объектом).

3. Найди общую производительность (если работают вместе): P_{общ} = P_1 + P_2 + ....

4. Найди время совместной работы: t_{общ} = \frac{1}{P_{общ}}.

 

Этап 5: Работа с условиями, где работа выполняется не полностью

 

Наиболее сложный подтип задач для шестиклассников — это задачи, где объекты работают разное время или один включается позже. Здесь без схематического чертежа не обойтись.

 

Задача 3. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать дорогу за 8 дней. Первая бригада работала 5 дней, а затем вторая бригада закончила работу за 9 дней. За сколько дней каждая бригада смогла бы отремонтировать дорогу самостоятельно?

 

В этом случае я использую метод «целое — часть».

 

1. Находим общую производительность: P_{общ} = \frac{1}{8}.

2. Обозначаем производительность первой бригады за x, второй за \frac{1}{8} — x.

3. Составляем уравнение по условию: первая работала 5 дней, вторая — 9 дней, а вместе они сделали всю работу (1):

   5x + 9(\frac{1}{8} — x) = 1.

 

Решение такого уравнения закрепляет навыки работы с дробями и показывает мощь алгебраического метода.

 

Приёмы повышения мотивации

 

1. Сюжетное разнообразие. Не стоит зацикливаться на бассейнах и трубах. Используйте задачи о строительстве, шитье, печати книг, уборке урожая. Шестиклассники лучше понимают задачи с конкретными предметами.

2. Практическая работа. Предлагаю экспериментальную задачу: «Класс делится на группы. Одна группа подписывает конверты со скоростью 2 конверта в минуту, другая — 3 конверта в минуту. Сколько времени потребуется, чтобы подписать 60 конвертов, работая вместе?» После решения теории ученики реально выполняют работу, засекая время, и сравнивают результат с вычислениями.

3. Конструирование задач. Эффективный приём для развития функциональной грамотности. Ученикам предлагается дано: t_1 = 4 ч, t_2 = 6 ч, t_{общ} = 2,4 ч. Нужно придумать текст задачи.

 

Заключение

 

Обучение решению задач на совместную работу в 6 классе требует не механического заучивания формул, а глубокого осмысления понятия «производительность труда» как доли от общего объема. Использование аналогии с движением, визуализация (схемы, отрезки) и постепенное наращивание сложности позволяют преодолеть когнитивный диссонанс, связанный с оперированием дробями.

 

Сформированный в 6 классе подход к решению этих задач станет надежной базой для успешного решения текстовых задач в курсе алгебры 7–9 классов и при подготовке к ОГЭ.