Задача без вопроса. Прием обучения поиску решения геометрической задачи

Автор: Целик Ольга Владимировна

Организация: СОШ

Населенный пункт: г.Санкт-Петербург

Важность изучения геометрии в рамках школьного курса математики никогда не подвергалась сомнению. Можно приводить мнения десятков признанных авторитетов, которые в превосходных степенях отзываются о геометрии как об эффективном способе развития мышления человека, его способностей в области технического творчества, его эстетического чувства и чувства уважения к научному знанию. Однако, на фоне единодушия в вопросах значимости преподавания геометрии, ведется множество споров о содержании школьного курса и подходах к его реализации в условиях современного образования.

Школьная геометрия достаточно консервативна и продолжает опираться на «краеугольные камни» самой науки: аксиоматический подход, структуру доказательства, традиционные планы решения стандартных задач. Таким образом подтверждается главное начало геометрии – ее безусловная математическая строгость. И тем не менее, поиск математического решения геометрической задачи нельзя не признавать задачей творческой в полном смысле этого слова! И.Ф. Шарыгин в своей работе «Рассуждения о концепции школьной геометрии» [Шарыгин И.Ф. Рассуждения о концепции школьной геометрии, МЦНМО, 2000, стр. 7] высказывается определенно: «Можно сказать, что геометрия является самым гуманитарным из негуманитарных предметов, посредством геометрии реализуются многие цели, специфичные именно для гуманитарных предметов». Творческий же процесс имеет свои особенности и требования к реализации.

Сложность преподавания школьного курса в современной школе заключается еще и в том, что результаты обучения должны быть достигнуты буквально для всех без исключения учащихся на установленном федеральными требованиями уровне. И в последние годы этот требуемый уровень повышается: увеличивается количество заданий по геометрии в ЕГЭ и ОГЭ, повышаются требования к качеству оформления решений, повышается ценность этих заданий в общем итоговом балле за работу. Ни «музыкальная одаренность», ни «художественные способности» не оцениваются столь строго и с таким всеобщим охватом. Геометрию же должны знать все и каждый, независимо от степени таланта и способности генерировать математическую идею.

При этом сохраняется основной критерий достижения результата, который также прекрасно выражен И.Ф. Шарыгиным: «… уровень геометрического развития школьника эквивалентен уровню сложности решаемых им задач. Задача становится одновременно и целью, и средством обучения. Все наши проблемы переводятся в плоскость задач: мы должны разработать методы оценки уровня сложности задачи и методики, развивающие умение решать достаточно сложные задачи». [Шарыгин И.Ф. Рассуждения о концепции школьной геометрии, МЦНМО, 2000, стр. 39]

Учебная геометрическая задача строится по известному канону: набор данных, описание чертежа, параметр геометрического объекта, который требуется вычислить или построить доказательство, подтверждающее его свойства. Простые геометрические задачи представляют из себя, фактически, заданный алгоритм вычислений или рассуждений (прямое применение теорем) и требуют скорее заучивания, чем рассуждения. Более сложные задачи предполагают поиск цепочки шагов стандартного типа, причем довольно длинной цепочки, приводящей к результату. В этот момент у многих, даже очень старательных учеников, возникает проблема. Поиск – процесс сложный, характеризующийся элементами творчества, вероятностью ошибки первоначального выбора пути, необходимостью анализа перспективы движения по этому пути. Для того, чтобы быть успешным в такой сложной интеллектуальной деятельности нужен опыт, которого у ученика 7-8 класса, только начинающего изучение геометрии в ее научном виде, еще мало. Поэтому часто возникает ситуация замешательства, страха перед задачей и, в конечном итоге – отторжения самой попытки решить задачу. «Я не знаю, как это найти!» - частый ответ ребенка, сдающего работу, в которой хорошо выполнен чертеж, но поле решения остается пустым. Ощущение неудачи вызывает дискомфорт и приводит к следующей стадии – «я вообще не знаю, как такое решать, тут нет теоремы». На такой основе строить обучение творческому поиску практически невозможно.

Тем не менее, обучать поиску решения необходимо и полезно, а значит стоит изменить подход к геометрической задаче, сделав ее не более простой, но более привлекательной для ученика, не обладающего талантом «внутреннего озарения».

Предлагаемый в этой статье вариант очень прост и не требует от учителя специальной адаптации учебного материала. Прием заключается в том, чтобы убрать из условия задачи ее вопрос. Работа с данными и чертежом остается прежней, но учащемуся не требуется найти именно то, что указали авторы учебника. Он должен, изучая чертеж, найти то, что сможет найти, основываясь на своих знаниях.

Поясним примером:

На рис 1. показан чертеж с обозначенными на нем данными задачи. Вопрос к задаче не поставлен, целью ученика является поиск всех возможных выводов, которые можно сделать, опираясь на данные.

Ученик, не связанный необходимостью фиксироваться на конкретном геометрическом объекте, может изучать любую часть чертежа, не опасаясь уйти в своем решении «не туда».

Старательный, но не слишком внимательный, ученик заметит параллельность ВС и AD, равенство углов ВАС и ВСА, вычислит величину угла HCD.

Для талантливого ученика, помимо отслеживания простых фактов, будет любопытно поискать углы АСD и АСН и убедиться, что АВСН – квадрат. А выполнив расчеты в треугольнике CDH, он сможет также найти периметры и площади треугольников, квадрата, трапеции, то есть полностью рассчитать все элементы чертежа.

Отыщется и ученик, возможности которого ограничатся только перечислением замеченных фигур – равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, прямоугольная трапеция ABCD, прямоугольные треугольники АСН и CHD, но и в этом случае ученик приложит усилия и получит некий результат, который не будет нулевым, а значит не вызовет ощущения полной неудачи.

Надо отметить, что выполнение подобной работы полезно и для учителя, поскольку обратная связь об усвоении отдельных алгоритмов будет получена от каждого учащегося, а значит, станет возможным анализ как индивидуальных сложностей и достижений, так и оценивание общей ситуации с усвоением различных тем и приемов решения задач. Те факты, которые большинство учащихся уверенно находит и использует, можно считать успешно усвоенными, а те, которые «не замечены», следует повторить и акцентировать на них внимание. В любом случае, проблема «сданного пустого листочка» при такой форме работы с задачей снимается сама собой.

Следует отметить, что, изучая чертеж как единое целое, учащиеся не только тренируют избирательное зрение, но и привыкают рассматривать варианты шагов при построении логических цепочек. Каждый новый шаг дает возможность сделать следующий, а зачастую – несколько разных шагов, приводящих к выводам о разных элементах фигуры.

Такой подход, как показывает практика, уже не воспринимается как пугающая необходимость добраться до заранее заданной цели, а скорее напоминает логическую игру, где невозможно проиграть – только выиграть больше. Это дополнительно создает мотивационный соревновательный момент, как между учениками («я нашел больше всех!»), так и у самого ученика («я нашел больше, чем в прошлый раз!»), что также хорошо влияет на общее отношение к решению задачи.

Работа с чертежом в таком стиле – который по меткому замечанию учеников был назван нами «Что мы видим на картине?» – носит творческий характер, и, в то же время, служит хорошей основой для формирования умений, необходимых для решения классических задач с заранее заданным вопросом. Учитель может дополнить процесс, поставив к уже изученному чертежу какой-то конкретный вопрос, особенно в тех случаях, когда никому не удалось полностью рассчитать фигуру. Это хорошо показывает, как на основе многих замеченных фактов, цепочка рассуждений легко удлиняется на один-два шага до получения нужного результата.

Несложно также расширять работу с чертежом, добавляя новые элементы или возвращаясь к нему на разных этапах изучения курса, когда вновь изученные теоремы дают новые возможности. Так, приведенный чертеж может быть использован и в 7 классе, после изучения параллельности и теоремы о сумме углов треугольника, и в 8 классе, после разговора о площадях и теореме Пифагора. Это только подчеркнет важность и вычислительную силу вновь изученных понятий.

Можно предложить несколько вариантов включения приема в работу на уроке, но ограничимся тем, который показал наибольшую эффективность. Этапами урока в этом случае становятся:

- индивидуальная работа с чертежом на карточке, в ходе которой каждый ученик письменно перечисляет найденные им выводы и поясняет их рассуждениями так, как позволяет его уровень знаний и умений; по окончании этого этапа учитель собирает индивидуальные работы для анализа общей ситуации;

- диалог учителя с одним или несколькими учениками, в котором он предлагает поделиться выводами, причем каждый из учеников, по возможности, дополняет предыдущего, называя новые найденные факты;

- общая работа класса по заданию учителя, поставившего конкретный вопрос к задаче, сделав ее классической.

При таком формате работы в равной степени возможно дать проявить себя каждому ученику и учесть необходимость перехода к общепринятым правилам решения геометрических задач. Учитель может гибко варьировать степень сложности задания и временные рамки этапов урока, учитывая текущую ситуацию. Также появляется материал для оценивания знаний учащихся их прогресса и дефицитов в освоении темы и курса в целом. Немаловажно, что такая работа, фактически, не может быть скопирована откуда либо, поскольку набор и качество обоснования фактов всегда индивидуальны.

Практически любая задача из обычного учебника геометрии может быть рассмотрена в предложенном варианте. Учителю не требуется специально создавать или искать особые материалы. С другой стороны, можно существенно повышать сложность и разнообразие чертежей, поднимая ее до уровня олимпиадных задач, и не вызывая при этом страха перед неудачей даже у тех учащихся, кто не обладает особым геометрическим талантом. Нет ограничений и для материала, изучаемого в рамках стереометрии, с той лишь оговоркой, что к указанным сложностям добавляются проблемы восприятия пространственного чертежа. Поэтому работу подобного рода стоит подкреплять трехмерными моделями, что, конечно, требует некоторой подготовки, но не является неразрешимой проблемой, если использовать многочисленные программы трехмерного моделирования, которые существуют на данный момент.