Применение математических софизмов на уроках в 5–6 классах для развития критического мышления

Автор: Маркелова Светлана Валериевна

Организация: МБОУ «Гимназия»

Населенный пункт: Республика Хакасия, город Черногорск

При переходе учащихся в основную школу 5-6 классов происходят изменения в организации учебного процесса. Материал, изучаемый на уроках математики, становится более сложным, увеличивается его абстрактность, возрастает объем теоретического материала, возрастают требования к логическим и доказательным рассуждениям. В этот период продолжается развитие у школьников критического мышления, которое подразумевает способность проводить анализ получаемой информации, находить ошибки в рассуждениях и исправлять их. Одним из наиболее интересных и эффективных средств развития критического мышления на уроках математики могут стать математические софизмы. «В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики» [9].

Слово «софизм» происходит от греческого sophisma – уловка, выдумка, головоломка, хитроумное высказывание [1]. Математический софизм – это умышленно ложное умозаключение, которое при поверхностном рассмотрении кажется правильным [6]. В доказательстве софизма всегда кроется одна или несколько замаскированных ошибок: нарушение условий применимости теорем и правил, деление на ноль, неверное использование формул, ошибочные чертежи или логические погрешности [9]. Отличают такие понятия, как софизм и парадокс. Парадокс – это неожиданное утверждение, которое может быть доказано и как истинное, и как ложное, тогда как софизм – это преднамеренная ошибка, замаскированная под правильное рассуждение [2].

Использование на уроках математики софизмов позволяет развивать логическую сообразительность. «Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает необходимые в жизни навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает повторение её в дальнейшем» [9]. Чтобы не попасть в ловушку софизма, «приходится очень внимательно продвигаться вперед и каждый шаг делать с большой осторожностью» [9]. Это развивает внимательность и самоконтроль, что переносится и на решение математических задач, и на решение обычных жизненных задач. Разбор софизмов мотивирует учащихся к углубленному изучению и пониманию учебного материала, «помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается» [9]. Кроме того, «применение софизмов и парадоксов на уроках математики могли бы разнообразить уроки математики и вызвать интерес учащихся к этому предмету» [2]. «Доказательство» явно неверного результата вызывает эмоциональное удивление детей, что удерживает интерес и желание разобраться в неожиданном результате. И на эмоциональном уровне возникает более глубокое понимание и закрепление математических правил. Работа с софизмом превращается в небольшое исследование: нужно не просто найти ошибку, но и понять, какое правило нарушено, и сформулировать, почему данное действие невозможно.

Учащиеся 5-6 классов легко увлекаются интересными нестандартными задачами, которые направлены на развитие абстрактного и критического мышления. Однако, в этом возрасте дети склонны к быстрым наглядным решениям и поспешным выводам. Софизмы прекрасно подходят для учащихся 5-6 классов: они предлагают «готовую» ошибку для анализа, и это для детей проще, чем самостоятельное решение сложных задач, но при этом развивают нужные мыслительные навыки.

Конечно необходимо учитывать уровень подготовки учащихся. Применение софизмов для 5-6 классов должно опираться на уже изученный материал (действия и законы с натуральными числами, простейшие уравнения, свойства нуля); материал должен быть «вплетен» логически в общую структуру учебного занятия. Предлагаемые софизмы должны содержать хорошо заметные после объяснения ошибки, быть краткими и наглядными, вызывать эмоции у детей (удивление, желание разобраться).

Рассмотрим примеры софизмов, которые можно включать в занятия 5-6 класса. Арифметические софизмы доступны для рассуждений и основаны на ошибках в действиях с числами или на ошибках в математических законах.

Пример 1: «Трижды три равно десять»

Возьмем верное равенство: 9 : 9 = 10 : 10. Вынесем за скобки общий множитель в каждой части: 9· (1 : 1) = 10 · (1 : 1). Зная, что 1 : 1 = 1, получаем 9 = 10, или 3·3 = 10.

Ошибка заключается в том, что распределительный закон умножения относительно сложения или вычитания перенесли на действие деления. Нельзя выносить множитель за скобки в частном, множитель можно выносить только из суммы или разности.

Пример 2: «7 равно 8»

• числовое тождество: 42+14-56 = 48+16-64. Вынесем общие множители:
  75·(6 + 2 – 8) = 8·(6 + 2 – 8). Разделим обе части на (6 + 2 – 8). Получим 7 = 8.

Ошибка в том, что делили обе части равенства на ноль. 6 + 2 – 8 = 0, а на ноль делить нельзя! Такая ошибка встречается во многих софизмах, и является классической.

Пример 3: «Один рубль не равен ста копейкам»

• что если a=b, c=d, то ac=bd. Применим это свойство к двум очевидным равенствам: 1 р.=100 коп. и 10р.=10*100коп. Перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.=100000 коп. Если разделить левую и правую части последнего равенства на 10 получим, что 1 р.=10 000 коп. Таким образом, один рубль не равен ста копейкам [2].

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Действительно, если перемножить первоначальные равенства, то мы получим следующее равенство 10 р². =100 000 к², которое после деления на 10 дает 1р² =10000к², а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма.

Таким образом: 1р.*1р.=100к.*100к. и получаем верное равенство 1р.=100 коп.

Алгебраические софизмы связаны с преобразованиями выражений с переменными. В 5 и 6 классах учащиеся достаточно много решают уравнений, поэтому способны анализировать и софизмы, связанные с уравнениями.

Пример 4: «Любое число равно нулю»

Возьмем любое число a. Запишем равенство: a² – a² = a² – a². В левой части вынесем за скобки переменную а, правую разложим по формуле разности квадратов:
a(a – a) = (a – a)(a + a). Сократим на (a – a), получим a = 2a, откуда a = 0 [9].

Так как (a – a) = 0, то вновь делят на 0, а деление на ноль запрещено.

В геометрических софизмах часто используют неверные или неточные чертежи, ложные пространственные рассуждения. В 5-6 классах можно предлагать простейшие геометрические софизмы.

Пример 5: «Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»

Пусть a – длина спички, b – длина столба, и b – a = c. Тогда b = a + c. После перемножения этих равенств, получим: b² – ab = ca + c².

Вычтем из обеих частей bc: b² – ab – bc = ca + c² – bc, или b(b – a – c) = –c(b – a – c).

Отсюда b = –c, но c = b – a, поэтому b = a – b, или a = 2b [2].

В выражении b(b – a – c) = –c(b – a – c) производится деление на (b – a – c), а b – a – c = 0, а на ноль делить нельзя.

На занятиях можно предлагать учащимся и логические софизмы. Они основаны на многозначности слов или неправильном построении умозаключений. Логические софизмы интересны, ставят детей «в тупик» и полезны для развития критического мышления в целом.

Пример 6: «Полный стакан равен пустому»

Рассмотрим стакан, наполненный водой до половины. Можно сказать, что стакан, наполовину полный, равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что полный стакан равен пустому [10].

Ошибка в том, что увеличение вдвое в данном случае бессмысленно, потому что понятия «полный» и «пустой» не являются величинами, а значит их нельзя удваивать.

Можно выделить несколько этапов работы с софизмами в 5-6 классах [7]:

Этап 1. Знакомство с «бытовыми софизмами».

В начале 5 класса целесообразно начать с простых, житейских софизмов, не требующих специальных математических знаний. Например: «Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит» [10]. Такие примеры показывают учащимся, что внешне правильное рассуждение может скрывать ошибку. Это классический античный софизм (логическая уловка), который показывает двусмысленность языка и нарушения логических законов. Ошибка заключается в том, что смешивают понятий «встал» (процесс перехода) и «стоит» (результат). Рассуждение неверно, так как сравнивает состояние в момент начала действия к завершенному состоянию.

Этап 2. Введение законов логики.

Учащиеся знакомятся с простейшими правилами логического вывода: «Если число делится на 2, то оно четное. Число 18 делится на 2, значит, оно четное».

Этап 3. Работа по выявлению ошибок в математических софизмах.

На этом этапе учащимся предлагаются готовые софизмы. Задача – найти ошибку и объяснить, почему данное рассуждение неверно. Можно использовать следующие рекомендации:

1. «Правило портного»: проверять каждый шаг преобразования, выполняя обратное действие. Как портной делает стежок «вперед и назад», так и нужно «оглядываться назад» после каждого преобразования [7].
2. «Правило программиста»: разбивать рассуждение на небольшие блоки и проверять правильность каждого блока отдельно [7].

Этап 4. Составление учащимися собственных софизмов.

Очень важный этап для развития гибкости и критичности мышления. Можно предложить ребятам составить аналогичные софизмы, а наиболее сильные учащиеся могут попробовать самостоятельно придумать свои. «Учителю необходимо поощрять учащихся к этому виду деятельности. Ученики могут предлагать софизмы, которые аналогичны ранее разобранным» [7].

Софизмы могут использоваться в различных видах учебной деятельности. Это может быть фрагмент урока (5-7 минут) – разбор одного софизма в начале или конце урока для активизации внимания. На уроке-исследовании можно использовать групповую форму для анализа несколько софизмов, нахождения ошибки и представления результата. На занятиях по внеурочной деятельности можно организовать более глубокое погружение в тему, возможность рассмотреть историю софизмов. Задания по поиску ошибок в предложенном софизме можно включать и в задания для домашней работы. Кроме того, данная тема может стать темой для проектной работы, где учащиеся могут собрать и свои софизмы.

Математические софизмы выполняют важную развивающую функцию: учат внимательности, строгости рассуждений, помогают глубже понять математические законы. Они позволяют в игровой форме не только закрепить важнейшие математические правила, но и повышают интерес к предмету, развивают гибкость и критичность мышления. «Правильно понятая ошибка – это путь к открытию» [6]. Систематическое включение софизмов в учебный процесс (на уроках, кружках, в домашних заданиях) способствует формированию у школьников навыков критического анализа информации, что является одной из ключевых компетенций современного человека.

 

 

Список литературы

1. Математический кружок для учащихся 6-х классов по теме «Математические софизмы и логические задачи». – «Первое сентября», 2009. URL: https://urok.1sept.ru/publication/48963
2. Демченкова С.В. Внеклассное мероприятие по математике «Софизмы и парадоксы» (5–8 классы). – Педагогическое сообщество «УРОК.РФ», 2016. URL: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/sofizmi_i_paradoksi_203224.html
3. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 2. – М.: Просвещение. (Упражнение 475 – «Математические софизмы»)
4. Радченко Ю.С. Математическая логика и её парадоксы. – Ставропольское президентское кадетское училище. URL: https://arhive.stpku.ru
5. Проект «Софизмы». – «Первое сентября», 2008/2009. URL: https://project.1sept.ru/works/571868
6. Внеклассное мероприятие по математике «Дважды два – пять?!». – «Первое сентября», 2008. URL: https://urok.1sept.ru/publication/30251
7. Лунева А.А. Методика работы над математическими софизмами в начальной школе. – Инфоурок, 2018. URL: https://infourok.ru/metodika-raboti-nad-matematicheskimi-sofizmami-v-nachalnoy-shkole-1438942.html
8. Юдина В.Х. Софизмы на уроках математики. – Образовательная социальная сеть nsportal.ru, 2016. URL: https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2016/06/30/sofizmy-na-urokah-matematiki
9. Атеев А.С., Самарина Е.А. Математические софизмы. – IX Международный конкурс «Старт в науке». URL: https://school-science.ru/9/7/43529