«Слава геометрии в том, что из столь немногих начал

она способна свершить так много»

Исаак Ньютон

 

Аннотация

В статье представлена авторская методическая технология введения первичных геометрических понятий в курсе геометрии 7 класса, основанная на генетическом подходе и опирающаяся на последовательный анализ взаимного расположения базовых объектов — точки и прямой — на евклидовой плоскости. Методическая новизна работы заключается в систематизации идей аксиоматики инцидентности Д. Гильберта и теории поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина в виде целостной дидактической технологии, обеспечивающей полноценную интериоризацию геометрических понятий. Представленный метод реализует принципы системно-деятельностного подхода ФГОС ООО и направлена на преодоление абстрактного характера первичных понятий через «геометрический конструктор». В работе автором описана последовательность введения понятий через перебор конфигураций: от совпадения точек и генетического введения угла через «сгибание» прямой, до эмпирического исследования смежных и вертикальных углов с последующим дедуктивным выводом теорем. В статье приведены методические приёмы и педагогические наблюдения, подтверждающие эффективность подхода.

Ключевые слова: геометрия 7 класса, базовые геометрические понятия, генетический метод, системно-деятельностный подход, отношения инцидентности, евклидова плоскость, взаимное расположение, сгибание прямой, эмпирическое исследование, смежные и вертикальные углы, интериоризация, конструирование фигур.

 

Введение

Геометрические истины не даются ученику в готовом виде — они возникают как ответы на вопросы, поставленные практикой, и связываются в единую логическую цепь. Именно этот принцип — от наглядного опыта к логической системе — лежит в основе предлагаемой технологии.

Изучение логики начала курса, как методическая проблема первичных геометрических понятий в 7 классе в большинстве действующих учебников, строится по описательной схеме: точка, прямая, отрезок, луч, угол последовательно вводятся, как самостоятельные сущности, связь между которыми не раскрывается явно. В результате у обучающихся формируется фрагментарное представление о курсе: фигуры воспринимаются как разрозненные объекты, а не как элементы единой конструкции.

Сравнительный анализ распространённых учебно-методических комплексов позволяет выделить три основных подхода к решению данной задачи. Рассмотрим их более подробно.
УМК Л. С. Атанасяна реализует наглядно-эмпирическую линию. Первичные понятия (точка, прямая, отрезок, луч, угол) даются последовательно в рамках главы «Начальные геометрические сведения», каждое — через описание, без демонстрации генезиса из предыдущих. Точка упоминается, как данность, луч и угол появляются как готовые определения, а не как следствия взаимодействия базовых объектов.

УМК А. В. Погорелова выстраивает формально-аксиоматическое изложение. Курс начинается с формулировки аксиом принадлежности, порядка и измерения. Однако для семиклассника логическая взаимосвязь понятий остаётся неявной: аксиомы даются блоком, а не порождаются из анализа конкретных конфигураций. Формализм оказывается избыточным для возраста, в котором абстрактно-логическое мышление только формируется.
УМК И. Ф. Шарыгина следует феноменологическому пути: от тела к поверхности, от поверхности — к линии и точке. Такой подход развивает пространственное воображение, но также не создаёт цепи последовательного усложнения взаимного расположения двух объектов.

Таким образом, несмотря на различия в подходах, все три линейки разделяют общую особенность: базовые понятия вводятся параллельно, а не последовательно, через усложнение взаимодействия двух элементов. Следствием становится трудность перехода от наглядно-действенного мышления 5–6 классов к абстрактно-логическому мышлению, требуемому геометрическим курсом.

Работа с учащимися, для которых начальный курс геометрии оставался формальным

набором определений, показала, что причина затруднений кроется не в способностях ребёнка, а в логике изложения. Когда опорой служит не последовательность конфигураций, а описательный перечень фигур, у обучающегося не формируется целостная картина, необходимая для дальнейшего изучения курса.

Настоящая статья посвящена методике, в которой акцент переносится с описательного введения понятий на их конструктивное выведение из системы отношений между точкой и прямой на евклидовой плоскости.

Следствием такого подхода становится фрагментарность восприятия курса семиклассниками: геометрические фигуры предстают перед обучающимися как разрозненные объекты, лишённые внутренней взаимосвязи. Возникает когнитивный разрыв между наглядным уровнем 5–6 классов и аксиоматическим уровнем, к которому постепенно подводит курс 7 класса. Особенно остро данная проблема проявляется у обучающихся с низкой мотивацией к изучению математики, а также у детей с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ), для которых абстрактный характер первичных понятий становится существенным барьером, таким образом данная методика началась из практической потребности

Решение указанной проблемы видится в переносе акцента с описательного введения понятий на их конструктивное выведение из системы отношений между базовыми объектами. Настоящая статья посвящена описанию авторской технологии, в которой курс планиметрии выстраивается как последовательный анализ взаимных расположений двух первичных объектов — точки и прямой — на евклидовой плоскости.

Цель статьи : представить методическую технологию генетического введения первичных геометрических понятий и показать её эффективность в контексте требований ФГОС основного общего образования.

 

 

1. Теоретико-методологические основы технологии

 

Разрабатываемая технология опирается на несколько взаимодополняющих теоретических положений. Рассмотрим их подробнее.

1.1. Историко-философская основа: от античной традиции к современной методике.

Предлагаемый подход сознательно опирается на дух античной геометрической традиции, в которой сложное выводилось из простого через строгие отношения. Как отмечал Г. В. Лейбниц в трактате «Initia rerum mathematicarum metaphysica» (1705), геометрия берёт начало в простых пространственных представлениях и, следуя внутренней логике развития, возводит из них здание непротиворечивых выводов. Именно этот синтез наглядности и дедукции составляет суть предлагаемой технологии.

В начале XX века А. Пуанкаре в труде «Наука и гипотеза» (1902) дал строгое методологическое обоснование того, что геометрические аксиомы не являются априорными истинами, а «обусловлены экспериментальными фактами». Для школьной дидактики это означает, что аксиомы должны вводиться не как абстрактная догма, а как прямое обобщение предметно-практического опыта обучающихся. Предлагаемая технология реализует этот принцип: аксиомы не даются в готовом виде, а «открываются» обучающимися через анализ конкретных конфигураций.

1.2. Аксиоматика инцидентности как концептуальная основа.

В основе предложенной последовательности введения понятий лежит идея отношений инцидентности (принадлежности), разработанная в аксиоматике Д. Гильберта. Первая группа аксиом Гильберта (аксиомы связи) устанавливает отношения между точками, прямыми и плоскостями. В школьном курсе строгая аксиоматика недоступна, однако её ключевая идея — «геометрия есть наука об отношениях между базовыми объектами» — может быть адаптирована для возраста 12–13 лет через систему понятных «правил игры».

1.3. Системно-деятельностный подход.

В соответствии с ФГОС ООО, обучение геометрии должно быть направлено на формирование универсальных учебных действий (УУД). Предлагаемая технология реализует данный принцип: обучающиеся не получают определения в готовом виде, а самостоятельно выводят их через анализ возможных конфигураций базовых объектов. Это обеспечивает формирование познавательных УУД (анализ, синтез, классификация, построение логической цепи рассуждений), регулятивных УУД (целеполагание, планирование, контроль) и личностных УУД (смыслообразование, самоопределение).

1.4. Принцип преемственности.

Технология сознательно опирается на пропедевтический курс математики 5 класса, в котором обучающиеся уже знакомятся с понятиями линии, кривой, ломаной, прямой. Эта линия служит наглядно-образным мостиком к строгому понятию прямой как первичного неопределяемого объекта геометрии.

1.5. Концепция поэтапного формирования понятий (П. Я. Гальперин, Н. Ф. Талызина).

Введение каждого понятия проходит через этапы: материализованное действие (наглядные модели) → внешнеречевое действие (обсуждение, формулировки) → умственное действие (внутреннее осмысление, применение). Это обеспечивает прочное усвоение даже обучающимися с замедленным темпом деятельности.

 

2. Описание технологии: от базовых объектов к системе фигур

 

Технология реализуется в течение первых 8–10 уроков курса геометрии 7 класса и охватывает тему «Первоначальные геометрические сведения». Её ключевая идея может быть выражена метафорой «геометрического конструктора»: обучающимся предоставляется минимальный набор базовых элементов (точка и прямая) и система правил (аксиом), позволяющая конструировать из них все последующие геометрические объекты.

2.1 Методическая ремарка: граница нашего «геометрического мира».

Прежде чем приступить к построению системы, необходимо зафиксировать с обучающимися, в каком «геометрическом мире» мы будем работать. Учитель предлагает детям представить поверхность обычного листа тетради — ровную, без изгибов, складок и искривлений. Именно на такой «идеальной плоскости» мы и будем работать. Это и есть евклидова плоскость — пространство, в котором справедливы все привычные нам геометрические законы: через две точки можно провести единственную прямую, параллельные прямые не пересекаются, сумма углов треугольника равна 180°.

Учителю важно обозначить, что существуют и иные геометрии — например, геометрия Лобачевского, в которой плоскость имеет «седловидную» форму, и в ней через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих данную. Однако в курсе 7 класса мы сознательно ограничиваемся евклидовой геометрией — именно она описывает привычное нам физическое пространство и служит фундаментом для дальнейшего изучения математики. Это формирует у детей понимание условности и строгости математических моделей.

2.2 Теоретические основания методики

Методика опирается на четыре методологических источника. Генетический принцип

(Л. С. Выготский, П. Я. Гальперин) утверждает, что понятие должно рождаться в деятельности учащегося, а не демонстрироваться в готовом виде. Ученик не должен получать отрезок как данность; он должен увидеть, как отрезок возникает из взаимодействия двух точек и прямой. Идея генетического введения аксиом геометрии разрабатывалась С. А. Гусевой (Власовой) в рамках диссертационного исследования «Генетический подход к обучению геометрии в средней школе» (Рязань, 2009) и в серии публикаций, включая методическое пособие «Сказки про аксиомы геометрии» (М.: Первое сентября). В работах С.А. Гусевой акцент сделан на циклической пропедевтике аксиоматического метода: мотивации необходимости аксиом, раскрытии статуса неопределяемых понятий через косвенные свойства, создании у обучающихся целостного представления о роли аксиом в системе геометрии.

Предлагаемая в настоящей статье методика развивает это направление, но смещает фокус: если у Гусевой источником понятия служит мотивированная аксиома (цикл «анализ → мотивация → формулировка → применение»), то в нашей технологии источником служит конфигурация взаимного расположения двух базовых объектов — точки и прямой — на евклидовой плоскости. Таким образом, генетический принцип реализуется не через пропедевтику статуса аксиомы, а через последовательное усложнение геометрической ситуации.

2.3. Последовательность ведения понятий.

2.3.1 Этап I. Точка, как атомарный объект геометрии

Формирование понятия точки начинается с приёма «предела делимости». Учитель предлагает обучающимся мысленный эксперимент: «Представьте, что мы последовательно делим яблоко пополам, затем каждую половину — снова пополам, и так далее. Рано или поздно мы достигнем частицы, которую уже нельзя разделить физически. В геометрии аналогом такой абсолютной неделимости является точка». Данный приём переводит абстрактное понятие в зону жизненного опыта обучающегося и снимает первичную когнитивную нагрузку. Фиксируется: точка — это идеализированный объект, не имеющий размеров, но имеющий положение в пространстве.

2.3.2. Этап II. Точки на плоскости: совпадение и несовпадение

Следующим шагом является рассмотрение взаимного расположения нескольких точек на плоскости. Учитель предлагает обучающимся представить плоскость как «ночное небо» и расставить на нём точки — «звёзды». Например, при рассмотрении двух звёзд (точек) на небе (плоскости) задаётся вопрос: «Как могут располагаться две точки на плоскости?». Перебирая варианты, обучающиеся приходят к выводу, что возможны лишь два принципиально различных случая:

- точки совпадают (образуют одну и ту же позицию на плоскости);

- точки не совпадают (занимают различные позиции на плоскости).

Если точки совпадают, то обозначаем A B; если не совпадают — A ≡ B.

При рассмотрении трёх точек ситуация обогащается: появляются отношения «между», «рядом», «на одной линии». Однако на данном этапе важно зафиксировать: любые две точки на плоскости либо совпадают, либо не совпадают. Эта простая дихотомия становится первым «правилом игры».

2.3.3. Этап III. Линия, как родовое понятие (актуализация пропедевтики)

На следующем уроке осуществляется опора на курс математики 5 класса. Обучающимся предлагается вспомнить, какие линии они уже знают. С помощью наглядных образов (натянутая нить бус — прямая; свободная нить бус — кривая; горные хребты или рёбра школьной мебели — ломаная) учащиеся самостоятельно воспроизводят классификацию.

Методически важный акцент: понятие «линия» используется на данном этапе, как наглядно-интуитивное, опирающееся на чувственный опыт. Строгим первичным неопределяемым понятием далее становится именно прямая. Такое разграничение позволяет избежать методической ошибки, связанной с попыткой определить прямую через более широкие понятия.

2.3.4. Этап IV. Взаимное расположение точки и прямой: введение аксиомы принадлежности

Аксиоматика взаимного расположения (Д. Гильберт) исходит из того, что в геометрии важны не сами объекты, а отношения между ними. Точка и прямая — не вещи, которые нужно «описать изнутри» (это фундаментальные, неопределяемые понятия), а обьекты, чьи взаимные позиции порождают всё остальное. Учитель формулирует проблемный вопрос: «Как могут располагаться друг относительно друга точка и прямая на плоскости?» Обучающиеся, работая в парах, перебирают возможные варианты и фиксируют их на чертежах. Анализ предложенных вариантов приводит к формулировке первой аксиомы в доступной форме:

Аксиома 1 (принадлежности). Точка либо принадлежит прямой, либо не принадлежит ей. Третьего не дано.

Затем вводятся обозначения: точки обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C...), прямые — строчными (a, b, c...) или двумя заглавными буквами.Так же вводится символ принадлежности ∈ и непринадлежности ∉. Символика подаётся не как формализм, а как удобный язык записи «правил игры», аналогичный знакам арифметических действий.

важный акцент: Прежде чем перейти к введению аксиом, необходимо сформировать у обучающихся понимание природы математических утверждений. Семиклассники впервые сталкиваются с тем, что в геометрии существуют особые «правила игры», которые нельзя доказать, но без которых невозможно построить всю систему. Чтобы сделать эту идею доступной, используется приём двойной аналогии: с настольными играми и со строительством. Задаем вопрос обучающимся: «Представьте, что вы садитесь играть в шахматы. Будете ли вы спрашивать у партнёра: «А докажи мне, почему конь ходит буквой "Г"?»( Нет). Вы просто принимаете правила и начинаете играть. Более того, именно из этих простых правил рождаются всевозможные комбинации и стратегии чемпионов. Геометрия устроена точно так же». Чтобы усилить этот образ предлагаем вторую аналогию: «А теперь представьте, что мы строим кирпичную стену». На доске фиксируется схема трёх ключевых понятий, закрепляющих обе аналогии:

 

Полный текст статьи см. в приложении.