Урок по геометрии 9 класс Тема: «Длина окружности. Длина дуги окружности. Число π»

Автор: Важенина Ольга Тимофеевна

Организация: МБОУ СОШ №11

Населенный пункт: с. Белая Глина

Тема: «Длина окружности. Длина дуги окружности. Число π»

Характеристика урока

• Тип урока: Комбинированный урок (изучение нового материала и первичное закрепление) .
• Цели урока:
  • Образовательная: Закрепить понятие числа π, отработать применение формул длины окружности и длины дуги окружности при решении задач практического содержания .
  • Развивающая: Развивать логическое мышление, умение анализировать, выводить, навыки исследовательской работы и работы с формулами .
  • Воспитательная: Воспитывать познавательный интерес к математике через исторические факты и практическую значимость темы, формировать культуру устной и письменной речи .
• Планируемые результаты:
  • Предметные: Знать определение числа π, формулы длины окружности и длины дуги, уметь применять их при решении задач, в том числе из материалов ОГЭ .
  • Метапредметные: Уметь ставить цель, планировать свою деятельность, делать выводы на основе полученных данных.
  • Личностные: Проявлять интерес к изучению темы, уметь работать в коллективе (парах/группах).
• Оборудование: Проектор, презентация, раздаточный материал (карточки с заданиями, "Рабочий лист исследователя"), круглые предметы (стаканы, банки), нитки, линейки .

Структура и ход урока

1. Организационный момент и мотивация (2-3 мин)

Учитель приветствует класс, создает рабочую атмосферу.

(слайд 1)

Еще в древности одним из важнейших достоинств человека считали владения математическими знаниями.

- Здравствуйте! Я рада видеть вас всех на уроке математики. Начать работу по теме урока мне хотелось бы с высказывания древнегреческого философа Саади «Ученик, который учится без желания - это птица без крыльев».И мне хотелось бы, чтобы было у вас желание учиться, узнавать новое, неопознанное не только на сегодняшнем уроке, а всегда и только в этом случае своими «крыльями» будете взлетать все выше и выше.

 

(слайд 2)

 

А вот французский писатель XIX столетия Анатоль Франц однажды заметил, что: «Учиться можно только весело. Чтобы переваривать эти знания, нужно поглощать эти знания с аппетитом».

- Давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету. Будем активны, будем поглощать знания с большим желанием, потому что они пригодятся вам в дальнейшей жизни. Желаю вам доброго дня и хорошего настроения.

• МИНУТКА ЗДОРОВЬЯ.

- Давайте сначала проведём«Минутку здоровья».

“Что такое осанка? Осанка – это привычная поза спокойно стоящего или сидящего человека. Плохая, неправильная осанка приносит вред здоровью: нарушает работу внутренних органов. А как некрасиво выглядит человек, у которого плохая осанка. Правильная осанка не только делает фигуру стройной, но и придает человеку уверенность в себе, бодрость, жизнерадостность”. Примите правильную осанку: опустите плечи, соедините лопатки, поднимите подбородок, втяните живот, и соблюдайте правильное положение в течение урока.

 

(слайд 3)

Учитель: Учитель: Ребята, посмотрите на экран. Что вы видите? (Слайд: арочный мост, железнодорожный поворот, купол церкви, циферблат часов, веер).
Все эти объекты объединяет одно: в их основе лежат окружность и её части — дуги.
Как вы думаете, инженеры, архитекторы и дизайнеры, создавая эти объекты, что должны уметь вычислять? (Длину материалов для арок, траекторию поворота, длину кружева на веере и т.д.).
Сегодня мы превратимся в такую проектную команду и научимся решать реальные задачи, где главным инструментом будут число π и формулы длины дуги.

2. Актуализация опорных знаний (5-7 мин)

• Фронтальный опрос (можно с использованием презентации):
  • Дайте определение окружности. (Геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки) .
  • Что такое радиус? Диаметр? Как они связаны?
  • Что такое центральный угол? (Угол с вершиной в центре окружности).
  • Что такое дуга окружности? (Часть окружности, ограниченная двумя точками) .
  • Чему равна градусная мера всей окружности? (360°).

(слайд 4)

1. ИСТОРИЧЕСКАЯ ВИКТОРИНА «ЗНАКОМЬТЕСЬ: ЧИСЛО π»

Вопрос 1. Какой буквой обозначается число π и от какого греческого слова произошло это обозначение?
Ответ: От греческого слова "περιφέρεια" (периферия) — окружность. Ввел обозначение Уильям Джонс в 1706 г., популяризировал Леонард Эйлер .

Вопрос 2. Кто из великих математиков древности впервые вычислил границы для числа π, заключив его между 3 + 10/71 и 3 + 1/7?
Ответ: Архимед (III век до н.э.). Его приближение 22/7 ≈ 3,1428 известно как «архимедово число» .

Вопрос 4. Когда впервые официально отметили «День числа π» и почему выбрали именно эту дату?
Ответ: В 1988 году в Сан-Франциско. Дата 14 марта (3.14) соответствует первым трём цифрам числа π .

Вопрос 5. Существует «Клуб π», Это неофициальный клуб людей, увлекающихся запоминанием знаков числа π. Чтобы вступить, нужно воспроизвести по памяти как можно больше знаков. Рекорды исчисляются тысячами и десятками тысяч знаков

 

БЛОК А: Повторение и углубление понятия о числе π и длине окружности

• Проблемный вопрос: Как найти длину окружности, если известен её радиус? (C=2πR).

(слайд 5)

Задача 1. «Земля и верёвка» (Классическая задача-парадокс)
Представьте, что Земля — идеальный шар радиусом 6370 км. Её экватор плотно обтянут верёвкой. Затем верёвку удлинили на 1 метр и равномерно приподняли над поверхностью по всей длине. Сможет ли кошка (высотой 30 см) пролезть в образовавшийся зазор между верёвкой и Землёй?
Решение:
Пусть R — радиус Земли, C = 2πR — длина верёвки. Новая длина C' = C + 1.
Новый радиус R' = C' / (2π) = (C + 1) / (2π) = (2πR + 1) / (2π) = R + 1/(2π).
Зазор = R' — R = 1/(2π) ≈ 1 / 6.28 ≈ 0.159 м = 15,9 см.
Ответ: Кошка не пролезет (зазор всего 16 см), но интересно, что зазор не зависит от радиуса Земли! Для любого шара удлинение верёвки на 1 метр даст зазор ~16 см.

??????Проводить опыт или нет?????????

Практическое задание (в парах) - подготовка к выводу формулы длины дуги:
На листочках изображены окружности. Учитель просит разделить одну окружность на 4 равные части, а другую — на 6. Какова градусная мера одной части в первом и во втором случае? (90° и 60°).

3. Изучение нового материала (18-20 мин)

БЛОК Б: Вывод формулы длины дуги окружности

Это центральный момент урока.

Учитель: Мы умеем находить длину всей окружности. А как найти длину только её части — дуги? Допустим, нам нужно узнать длину дуги в 1°?

(слайд 6)

Логический вывод (совместно с классом):

• 1. Длина всей окружности (360°) равна C=2πR.
  2. Тогда длина дуги в 1 градус будет в 360 раз меньше: l1​=3602πR​=180πR​ .
  3. Если дуга содержит не 1°, а α градусов, то её длина l увеличится в α раз.
  4. Итоговая формула:

где R — радиус, α — градусная мера центрального угла, соответствующего дуге .

• Важный акцент: Обратить внимание учащихся, что α — это именно градусная мера центрального угла, опирающегося на данную дугу.
• Постановка проблемы:
  Мы знаем формулы. Но как применить их в жизни? Сегодня мы ответим на вопрос: "Где и зачем нужна длина дуги?".

(слайд 7)

• Этап 2: Задача практического содержания (работа в парах)
  «Веер имеет форму кругового сектора. Найдите длину кружева, которое потребуется для обшивки края веера, если радиус равен 30 см, а градусная мера угла 160°» .
  Решение: l=1803,14⋅30​⋅160=18094,2​⋅160≈83,7 см.

 

Ответ: 84

4. Физкультминутка (1-2 мин) (слайд 8)

• Рисуем глазами большой круг по часовой стрелке, затем против.
• Руки на поясе. Поворот туловища на 90° вправо (четверть круга), на 180° влево (полукруг), полный оборот вокруг себя (360°) — молодцы!
• «А теперь постарайся описать дугу плечами — и запомни: чем больше угол, тем длиннее дуга!» .

(слайд 9)

КЕЙС 1. Строители (Мосты и арки)
Ситуация: При строительстве арочного моста через реку нужно изготовить металлическую ферму в виде дуги окружности.
Данные: Радиус арки (R) = 15 метров. Центральный угол арки (α) = 60°.
Задание: Рассчитайте длину заготовки (l), которую нужно согнуть, чтобы получить эту арку.
Решение:

l=180πR​⋅α=1803.14⋅15​⋅60=18047.1​⋅60=0.2617⋅60≈15.7 метров

 

Практический смысл: Зная длину дуги, строители закажут ровно 15,7 м профиля, избежав перерасхода металла.

Вычисление радиуса по известным координатам нескольких съёмочных точек закругления. Таких точек должно быть не менее трёх, так как в системе уравнений для определения радиуса закругления имеется три неизвестные величины. Координаты точек получают в результате тахеометрической съёмки железнодорожного пути или по результатам спутниковых измерений.

 

КЕЙС 2. Путейцы (Железная дорога)
Ситуация: Инженерам нужно спроектировать поворот железнодорожного пути. Радиус закругления (R) = 400 м, а угол поворота (αα) = 30°.
Задание: Найдите длину закругления (ll), которое нужно уложить. Это критически важно для расчета количества шпал и рельсов.
Решение:

l=1803.14⋅400​⋅30=1801256​⋅30=6.98⋅30≈209.4 метров

Практический смысл: На участке длиной 209 м рельсы будут уложены не прямо, а по дуге, обеспечивая плавный поворот поезда.

 

КЕЙС 3. Декоративная арка в квартире
Вы решили сделать в квартире арочный проём вместо обычной двери. Арка имеет форму полуокружности радиусом 60 см. Сколько метров декоративного молдинга (гибкого профиля) нужно купить, чтобы оформить верхнюю часть арки?
Дано: R = 60 см = 0,6 м, α = 180° (полуокружность)

Решение: l = (πR/180) · α = (3,14 · 0,6 / 180) · 180 = 3,14 · 0,6 = 1,884 м

Или проще: Длина полуокружности = πR = 3,14 · 0,6 = 1,884 м

Ответ: 1 м 88 см

 

(слайд 10)

Задача 3. «Разрезание пиццы»
Пицца радиусом 30 см разрезана на 8 равных кусков (секторов). Найдите длину дуги одного куска (внешний край корки).
Решение:
Угол одного сектора: α=360°/8=45°α=360°/8=45°.
l=180πR​⋅α=1803.14⋅30​⋅45=18094.2​⋅45=0.5233⋅45≈23.55 см.
Ответ: ≈ 23,6 см.

Решение задач с ОГЭ

(слайд 11)

Олег Петрович начал строить на дачном участке теплицу. Для этого он сделал прямоугольный фундамент длиной 5,5 м (DC) и шириной 4 м (AD). Для каркаса теплицы нужно заказать металлические дуги в форме полуокружности. В передней стенке планируется вход, показанный прямоугольником EFKN, где тоски E, P и N делят отрезок AD на равные части. Найдите длину металлической дуги в метрах с точностью до десятых.

 

(слайд 12)

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что Длина меньшей дуги AB равна 88. Найдите длину большей дуги.

https://math-oge.sdamgia.ru/problem?id=351065

(Слайд 13)

Роман Андреевич начал строить на дачном участке теплицу. Для этого он сделал прямоугольный фундамент длиной 5,2 м (DC) им шириной 2,8 (AD). Нижний ярус теплицы имеет форму прямоугольного параллелепипеда, собран из металлического профиля и по длине для прочности укреплён металлическими стойками. Для верхнего яруса заказали металлические дуги в форме полуокружностей, которые крепятся к стойкам нижнего яруса. Точки E, P и N делят отрезок AD на равные части. Найдите длину металлической дуги для верхнего яруса. Ответ дайте в метрах, округлив его в большую сторону с точностью до десятых

 

 

(слайд 13)

7. Итоги урока и рефлексия (3 мин)

• Блиц-опрос:
  • Какая формула родилась сегодня на уроке?
  • От чего зависит длина дуги? (От радиуса и величины центрального угла).
  • Где в жизни могут пригодиться эти знания? (Строительство арок, пошив юбок-клеш, дизайн).
  • Где мы сегодня применяли число π?
  • Какая профессия, на ваш взгляд, больше всего нуждается в знании длины дуги?

 

8. Домашнее задание (1 мин)

1. Выучить формулы: C=2πR.
2. Творческое задание: Составить кроссворд или ребус по теме «Окружность и круг».
3. Исследование «π в архитектуре моего города»:
   Найти фотографии зданий, мостов, куполов, арок в своём городе (или районе), где используются полукруглые или дугообразные формы. Подписать, какие элементы, предположительно, можно рассчитать с помощью числа π.
4.  

Мы знаем, время растяжимо,
Оно зависит от того,
Какого рода содержимым
Вы наполняете его.(слайд 23)

Берегите себя, свое здоровье и тогда математические задачи будут решаться быстрей и легче. Желаю радости открытий в необозримом море с именем «Математика»! Спасибо за участие!

5. БОНУС: ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ ДЛЯ ВСТАВКИ В УРОК

(Можно выводить на слайдах в паузах)

• Факт 1: В штате Индиана (США) в 1897 году был предложен билль, законодательно устанавливающий значение числа π равным 3,2. К счастью, закон не приняли .
• Факт 2: У числа π есть свой «язык». На нём написана книга «Not a Wake» («Не пробуждение»), где количество букв в каждом слове соответствует цифрам π .
• Факт 3: Если миллиард знаков числа π напечатать обычным шрифтом, эта лента растянется от Москвы до Владивостока .
• Факт 4: В компьютерах число π хранится с огромной точностью для расчётов космических траекторий. Например, для межпланетных полётов достаточно точности π в 40 знаков .
• Факт 5: В Биг-Бене (Лондон) маятник часов при ходе раскачивается по дуге, длина которой постоянно корректируется с учётом изменения температуры (чтобы не сбивался точный ход) — и это тоже расчёты с участием π!