Подобие треугольников. Вклад геометрии в Победу

Автор: Калязина Елена Станиславовна

Организация: МБОУ «СОШ № 35 им. Е. Ф. Дерюгиной»

Населенный пункт: г.Симферополь

Тема: Подобие треугольников. Вклад геометрии в Победу.
Место в курсе: Глава «Подобие фигур», урок закрепления и применения знаний.
Класс: 8.
Продолжительность: 45 мин.

Цели урока

• Предметные: закрепить понятие подобия треугольников, признаки подобия; научиться применять подобие для решения практических задач (в т. ч. на местности).
• Метапредметные: развить логическое мышление, умение моделировать реальную ситуацию математически, работать с информацией.
• Личностные (патриотическое воспитание):
  • показать связь математики (геометрии) с историей Великой Отечественной войны;
  • сформировать чувство гордости за подвиг народа, понимание ценности мира;
  • воспитать любовь к Родине через знакомство с памятными местами Крыма, связанными с Победой.
• Нравственные:

• развитие ответственности и основательности. Изучение геометрии, включая тему подобия треугольников, направлено на воспитание ответственности за точность решений и основательного подхода к работе. Ученики учатся проверять свои действия, анализировать ошибки и стремиться к безупречному выполнению задач.
• формирование волевых качеств. Решение задач на подобие требует концентрации внимания, настойчивости и умения преодолевать трудности. Ученики учатся не сдаваться перед сложными заданиями, искать пути решения и доводить работу до конца.
• развитие критического мышления и самоанализа. При изучении подобия треугольников учащиеся учатся анализировать условия задач, сопоставлять данные, проверять правильность решений. Это формирует навык критического анализа своей деятельности и умение оценивать результаты.
• воспитание трудолюбия и самостоятельности. Работа с геометрическими задачами, включая построение чертежей и доказательства, развивает трудолюбие и умение самостоятельно осваивать материал. Ученики учатся работать с учебником, справочниками и другими источниками информации.
• формирование ценностного отношения к знаниям. Понимание прикладного значения геометрии (например, в строительстве, архитектуре, технике) помогает осознать социальную значимость математических знаний и развить мотивацию к их изучению.

Оборудование

• Учебник геометрии для 8 класса.
• Раздаточный материал: карточки с задачами, схемы, фотографии памятников.
• Линейка, карандаш, калькулятор (по необходимости).
• Мультимедийный проектор и экран (для презентации).
• Карта Крыма с отмеченными памятными местами (можно интерактивную).

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин)

• Приветствие. Проверка готовности.
• Краткий настрой на урок: «Сегодня мы не просто повторим подобие треугольников, но и увидим, как геометрия помогала приблизить Великую Победу, а также почтим память героев на примере памятных мест Крыма».

2. Актуализация знаний (7 мин)

• Фронтальный опрос:
  • Что значит, что два треугольника подобны? (ΔABC∼ΔA1​B1​C1​)
  • Назовите признаки подобия треугольников.
  • Чему равно отношение площадей подобных треугольников? (S1​S​=k2)
  • Как найти коэффициент подобия (k)?
• Решение устного упражнения на готовых чертежах (проектор): найти пары подобных треугольников, обосновать выбор признака.

3. Мотивационноисторическая часть (5 мин)

• Рассказ учителя (сопровождается презентацией):
  • Во время Великой Отечественной войны геометрия была незаменима:
    • для расчёта траекторий снарядов и бомб;
    • при маскировке объектов (использование теней, перспективных построений);
    • в разведке: определение расстояний до целей, высот зданий, ширины рек по фотографиям и с помощью триангуляции.
  • Приборы наводчиков, дальномеры — всё это основано на свойствах подобных треугольников.
  • Подвиг тыла: инженеры, конструкторы, топографы — их труд был столь же важен, как и подвиг солдат.

4. Практическая работа «Высота памятника» (15 мин)

Цель: применить подобие треугольников для определения высоты недоступного объекта, почтить память героев.

Сценарий:

1. Постановка задачи. На фотографии — памятник «Народному ополчению всех времён». Требуется определить его высоту, не поднимаясь на него.
2. Метод. Используется метод «тени» (солнечный день) или метод «зеркальный» (в помещении).
3. Ход работы (метод тени):
   • Пусть h — высота памятника (искомое).
   • l — длина тени памятника.
   • h1​ — рост ученика (например, 1,7 м).
   • l1​ — длина его тени.
   • Треугольники, образованные объектом и его тенью, подобны (угол падения солнечных лучей одинаков).
   • Составляем пропорцию: h1​h​=l1​l​.
   • Выражаем h: h=h1​⋅l1​l​.

1. Выполнение:

1. • Ученики работают в группах.
   • Измеряют l и l1​ (на схеме или модели).
   • Подставляют значения, вычисляют h.
   • Обсуждают результат: «Полученная высота памятника — это символ высоты подвига наших предков».

1. Обсуждение. Почему метод работает? Какие допущения мы делаем? Где ещё он может применяться?

5. Связь с Крымом и патриотическое воспитание (5 мин)

• Учитель показывает карту Крыма, отмечает ключевые места:
  • Севастополь — городгерой, оборона 1941–1942 гг.
  • Сапунгора — штурм в 1944 г., диорама.
  • Аджимушкайские каменоломни — подвиг подземного гарнизона.
• Обсуждение: «Каждый памятник, каждая высота в Крыму — это точка памяти. Геометрия помогает нам сохранить и измерить эту память буквально».
• Минута молчания в память о погибших.

6. Закрепление (5 мин)

• Решение задачи на подобие треугольников с военной тематикой (расчёт расстояния до «цели» по двум точкам наблюдения).
• Взаимопроверка в парах.

7. Итоги урока (3 мин)

• Рефлексия:
  • Что нового узнали о применении геометрии?
  • Какой факт из истории войны вас особенно впечатлил?
  • Как подобие треугольников помогло в практической работе?
• Оценка работы групп.
• Подведение итогов: «Сегодня мы убедились: математика — не абстракция. Она служила Победе, помогает сохранять память о героях. Любовь к Родине начинается с понимания её истории и вклада каждого».

8. Домашнее задание (дифференцированное)

• Базовый уровень (обязательный): решить 2 задачи из учебника на признаки подобия.
• Средний уровень: составить и решить задачу на подобие по методу «тени» для любого памятника в городе Симферополе. Описать ход решения.
• Высокий уровень (творческий):
  1. Найти информацию о мемориальный памятнике «Скорбящая мать» (фото, высота, история).
  2. Представить, что вы — военный топограф. Опишите, как с помощью подобия треугольников вы бы определили высоту этого памятника для составления карты.
  3. Оформить решение как минидоклад (1 страница) с чертежом и расчётами.

 

 

Дифференцированная практическая работа «Высота памятника»

Общая цель: применить подобие треугольников для определения высоты недоступного объекта, почтить память героев.
Формат: групповая работа (3–4 человека), 15 мин.
Материалы: раздаточные схемы, линейки, калькуляторы, фотографии памятников.

Уровень 1 (базовый, с объяснением учителя)

Задача. Определить высоту памятника «Солдат и Матрос» в Севастополе методом тени.

Данные (на схеме):

• длина тени памятника: l=12 м;
• рост наблюдателя: h1​=1,7 м;
• длина его тени: l1​=2 м.

Ход решения (комментирует учитель):

1. Обоснование подобия. Треугольники «памятник–тень» и «человек–тень» подобны по двум углам:
   • прямой угол (объект перпендикулярен земле);
   • общий угол падения солнечных лучей.
     Значит, ΔABC∼ΔA1​B1​C1​.

1. Составляем пропорцию (отношение соответствующих сторон):

h1​h​=l1​l​.

1. Выражаем искомую высоту h:

h=h1​⋅l1​l​.

1. Подставляем числа:

h=1,7⋅212​=1,7⋅6=10,2 м.

1. Ответ: высота памятника 10,2 м.
2. Обсуждение:

1. • Почему метод работает? (параллельность солнечных лучей на малом участке).
   • Где ещё применяется? (в геодезии, строительстве, археологии).

Уровень 2 (средний, с частичной поддержкой)

Задача. Найти высоту обелиска «Городугерою Севастополю» (известна длина тени, но рост наблюдателя и его тень нужно измерить на схеме).

Данные:

• тень памятника: l=25 м (на схеме);
• на той же схеме: рост человека h1​ и тень l1​ (ученики измеряют линейкой и переводят в метры по масштабу).

Шаги (ученики выполняют самостоятельно с консультациями учителя):

1. Измерить h1​ и l1​ на схеме (например, 2 см и 2,5 см).
2. Определить масштаб схемы (например, 1 см=0,8 м).
3. Перевести в реальные размеры:

h1​=2⋅0,8=1,6 м,l1​=2,5⋅0,8=2 м.

1. Записать пропорцию:

1,6h​=225​.

1. Вычислить h:

h=1,6⋅225​=1,6⋅12,5=20 м.

1. Ответ: 20 м.
2. Рефлексия: какие погрешности могут быть? (неровность земли, неточность измерений).

Уровень 3 (высокий, творческий)

Задача. Разведчик 1944 года должен определить высоту дота на Сапунгоре, не приближаясь к нему. Используем метод «зеркальный» (зеркало на земле).

Дано:

• расстояние от наблюдателя до зеркала: d1​=3 м;
• расстояние от зеркала до основания дота: d2​=15 м;
• высота глаз наблюдателя: H=1,65 м.

Решение (ученики моделируют ситуацию):

1. Чертим схему:
   • точка A — глаз наблюдателя;
   • B — зеркало;
   • C — основание дота;
   • D — вершина дота.
     По закону отражения света, ∠ABD=∠DBC.

1. Доказываем подобие ΔABD∼ΔCBD по двум углам (прямой угол и равные углы отражения).
2. Пропорция:

hH​=d2​d1​​.

1. Выражаем высоту дота h:

h=H⋅d1​d2​​=1,65⋅315​=1,65⋅5=8,25 м.

1. Ответ: высота дота 8,25 м.
2. Исторический комментарий: такие расчёты помогали планировать штурм укреплений с минимальными потерями.

 

 

 

 

Презентация к уроку (структура и содержание)

Слайд 1. Титульный

• Тема: «Подобие треугольников. Вклад геометрии в Победу».
• Класс: 8.
• Девиз: «Математика — оружие Победы!».

Слайд 2. Цели урока

• Повторить признаки подобия треугольников.
• Научиться применять подобие на практике.
• Узнать, как геометрия помогала в годы Великой Отечественной войны.
• Познакомиться с памятными местами Крыма.

Слайд 3. Актуализация: признаки подобия

• 1й признак: по двум углам.
• 2й признак: по двум сторонам и углу между ними.
• 3й признак: по трём сторонам.
• Примеры пар треугольников (готовые чертежи).

Слайд 4. Геометрия на войне: зачем?

• Расчёт траекторий снарядов.
• Маскировка объектов (перспектива, тени).
• Разведка: определение расстояний, высот, ширины рек.
• Фото: артиллерийский дальномер, топографическая карта.

Слайд 5. Метод «тени»: принцип

• Схема: памятник, его тень, человек, его тень.
• Обоснование подобия (ΔABC∼ΔA1​B1​C1​).
• Формула: h1​h​=l1​l​.

Слайд 6. Практическая работа: уровень 1

• Задача: памятник «Солдат и Матрос».
• Данные: l=12 м, h1​=1,7 м, l1​=2 м.
• Пошаговое решение (как в уровне 1 выше).

Слайд 7. Практическая работа: уровень 2

• Задача: обелиск «Городугерою Севастополю».
• Схема с масштабом.
• Ученики измеряют h1​, l1​, переводят в метры, вычисляют h.

Слайд 8. Практическая работа: уровень 3

• Задача: высота дота на Сапунгоре (метод зеркала).
• Схема отражения.
• Пропорция: hH​=d2​d1​​.
• Ответ: 8,25 м.

Слайд 9. Памятные места Крыма

• Севастополь — городгерой.
• Сапунгора — штурм 1944 г.
• Аджимушкайские каменоломни.
• Фото памятников.

Слайд 10. Итоги

• Подобие треугольников — мощный инструмент в геометрии и жизни.
• Математика служила Победе: от расчётов до разведки.
• Память о героях — в памятниках и наших сердцах.
• Минута молчания (символ).

Слайд 11. Домашнее задание

• Базовый: 2 задачи из учебника.