Методическая разработка. Тема: Подготовка к государственной итоговой аттестации (ЕГЭ и ОГЭ) по математике. Разбор задания №9 (профильный уровень ЕГЭ) и задания №22 (ОГЭ)

Автор: Залова Елена Сафарбеевна

Организация: МОУ «СОШ №43 имени В.Ф. Маргелова»

Населенный пункт: город Саратов

Целевая аудитория: обучающиеся 9–11 классов, учителя математики, репетиторы.

Цель: сформировать устойчивый алгоритм решения алгебраических задач с параметрами и функциональной зависимости, минимизировать типичные вычислительные ошибки.

1. Спецификация заданий в структуре КИМ 2026 года

ЕГЭ (профильный уровень), Задание №9

• Раздел: Уравнения, неравенства и их системы.
• Тип задания: С кратким ответом (целое число или конечная десятичная дробь).
• Проверяемые элементы: Решение показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и неравенств, а также уравнений и неравенств с параметром. В последние годы акцент смещен на задачи с параметром, требующие исследования функции или анализа расположения корней квадратного уравнения.
• Максимальный балл: 1.

ОГЭ, Задание №22 (аналог высокого уровня сложности)

• Раздел: Алгебра.
• Тип задания: С развернутым ответом.
• Проверяемые элементы: Решение текстовых задач (движение, работа, сплавы, смеси) или уравнений/неравенств с параметром.
• Максимальный балл: 2.

Примечание: В данной разработке основной фокус сделан на профильный ЕГЭ, так как именно там задание №9 является классическим камнем преткновения из-за темы «Параметры».

2. Теоретическая база (что должен знать ученик)

Для успешного решения задания №9 (ЕГЭ) необходим уверенный навык:

1. Анализа квадратичной функции: нахождение вершины параболы, направления ветвей, дискриминанта, расположения корней относительно точки или интервала.
2. Графической интерпретации: понимание того, что параметр — это семейство графиков (прямых y=k, парабол y=x²+px+q и т.д.).
3. Метода введения новой переменной: для сведения показательных и логарифмических уравнений к квадратным.
4. Области допустимых значений (ОДЗ): автоматическое выписывание ограничений для логарифмов и дробей.
5. Теоремы Виета: для быстрого анализа суммы и произведения корней без их нахождения.

3. Универсальный алгоритм решения задач с параметром (на примере квадратичной функции)

Большинство заданий №9 в ЕГЭ 2024–2025 годов сводятся к следующей модели: «При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно два / один / ни одного корня?»

Шаг 1. Приведение к стандартному виду. Уравнение должно быть приведено к виду f(x) = a или Ax² + Bx + C = 0, где A, B или C зависят от a

Шаг 2. Анализ дискриминанта (D).

• Если D > 0 — два различных корня.
• Если D = 0— один корень (или два совпадающих).
• Если D < 0 — корней нет.

Шаг 3. Анализ расположения корней (если требуется условие «оба корня больше/меньше числа M» или «корни разных знаков»). Используется схема:

• Направление ветвей параболы (a > 0 — вверх, a < 0 — вниз).
• Положение вершины параболы x₀ = -B/2A относительно точки M.
• Знак функции в точке M, то есть f(M).

4. Разбор прототипа задания №9 (ЕГЭ, профиль)

Условие: Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x² + (a - 3)x + a + 3 = 0 имеет два различных положительных корня.

Решение: Данное уравнение — квадратное. Пусть f(x) = x² + (a - 3)x + a + 3. Коэффициент при x² равен 1, значит, ветви параболы направлены вверх. Для выполнения условия задачи (два различных положительных корня) необходимо и достаточно соблюдения системы условий:

1. Дискриминант больше нуля (корни различны):

D = (a - 3)² - 4 × 1× (a + 3) > 0

a² - 6a + 9 - 4a - 12 > 0

a² - 10a - 3 > 0

Найдем корни уравнения a² - 10a - 3 = 0:

D = 100 + 12 = 112 = 16 × 7

а₁ = = 5 +2√ 7

a₂ = = 5 - 2√ 7

1. Оба корня больше нуля (по теореме Виета): Для этого должны одновременно выполняться два условия:

1. • Произведение корней x₁ × x₂ > 0. По теореме Виета x₁ × x₂ = a + 3. a + 3 > 0

a > -3.

1. • Сумма корней x₁ + x₂ > 0. По теореме Виета x₁ + x₂ = -(a - 3) = 3 - a. 3 - a > 0 a < 3.

Объединяем условия в систему:

a ∈ (-∞;5 - 2√7) ∪ (5 + 2√+∞)

{ a > -3

a < 3

Оценим границы. Так как √7 ≈ 2.65, то 5 - 2√7 ≈ 5 – 5,3 = -0,3. Число 5 + 2√7 явно больше 3, поэтому правая часть первого интервала отсекается условием a < 3 Пересекаем a ∈ (-3; 3) ⊂ (-∞; 5 - 2√7) /

Ответ: a ∈ (-3; 5 - 2√7)

5. Разбор прототипа задания №22 (ОГЭ)

Условие: Два велосипедиста одновременно отправляются в 120-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость второго велосипедиста.

Решение: Пусть xкм/ч — скорость второго велосипедиста. Тогда скорость первого — (x + 2) км/ч. Составим таблицу:

Велосипедист	Расстояние (S)	Скорость (v)	Время (t = S/v)
Второй	120	x	120/х
Первый	120	x + 2	120/x+2

По условию первый приехал на 1 час раньше, значит, время второго больше времени первого на 1 час: 120/x – 120/x+2 = 1

Приводим к общему знаменателю:

= 1

= 1

240 = x² + 2x

X² + 2x - 240 = 0 Решаем через дискриминант: D = 4 + 960 = 964. Коррекция вычислений: D = 2² - 4 ×1 (-240) = 4 + 960 = 964. Число не является полным квадратом. Проверим условие: часто в ОГЭ числа подбираются так, чтобы дискриминант был квадратом. Перепроверим уравнение. Если x² + 2x - 240 = 0, то подбором: 14 × 16 = 224, 15 × 17 = 255. Пример с корректными числами для ОГЭ: Если бы разница во времени была другой или расстояние 112 км. Оставим текущее уравнение как пример иррационального ответа (что допустимо в ОГЭ-22, если в условии не сказано «в ответе укажите целое число»). Однако, если в условии расстояние 120, а разница 1 час, то x² + 2x - 240 = 0. = -1 + √241 Для методической чистоты заменим условие на классический вариант с целыми числами: Расстояние 96 км, разница 2 часа.

96/x – 96/x+4 = 2

96(x+4) - 96x/x(x+4) = 2

384/x²+4x = 2

x^{^2} + 4x - 192 = 0

D = 16 + 768 = 784 = 28²

X₁ = 4 + 28/2 = 12. X² = -4 – 28/2 = -16 (не подходит по смыслу). Ответ: 12 км/ч.

6. Типичные ошибки и методические рекомендации

Ошибка	Как предотвратить
Потеря ОДЗ в логарифмах. Ученик находит корень уравнения, но забывает, что основание логарифма должно быть >0 и ≠≠1, а подлогарифмическое выражение >0.	В заданиях с логарифмами заставлять учеников писать блок «ОДЗ» крупно и отдельно перед началом решения.
Ошибка в направлении ветвей параболы. При отрицательном a (коэффициент при x2 система условий расположения корней меняется на противоположную.	Рисовать быстрый эскиз параболы от руки для каждого случая.
Арифметические ошибки в дискриминанте. Особенно при возведении в квадрат выражений вида (a-3)2	Внедрить в классе правило «двойной проверки»: после нахождения D один корень уравнения обязательно проверить подстановкой.
Смешение понятий «не менее одного корня» и «хотя бы один корень».	Отрабатывать на тренажере разницу между строгими и нестрогими неравенствами в формулировках.
Игнорирование случая a=0 в дробно-рациональных уравнениях. При умножении на знаменатель, содержащий параметр, теряется случай, когда знаменатель равен нулю или коэффициент при x2 обнуляется.	Всегда отдельно рассматривать случай, когда параметр превращает уравнение из квадратного в линейное.

Рекомендации по организации урока:

1. «Урок одной задачи»: дать одно сложное уравнение с параметром и разобрать его 5–7 способами (графически, через дискриминант, через теорему Виета, методом областей).
2. Работа с бланками: задание №9 в ЕГЭ требует записи только числа. Ученики часто теряют минус или запятую. Необходимо тренировать навык переноса ответа в бланк.
3. Карточки-памятки: для ОГЭ-22 создать раздаточный материал с готовыми схемами таблиц для задач на движение, работу и сплавы.

7. Дидактические материалы (тренажер)

 

Полный текст статьи см. в приложении.