Как изменение одной величины помогает выбрать модель задачи

Автор: Харцаева Разита Хамидовна

Организация: МБОУ «СОШ № 34»

Населенный пункт: Чеченская Республика, г. Грозный

Математика · 6 класс

Почему знакомые числа ещё не задают способ решения

Шестиклассник видит в условии три числа и сразу составляет пропорцию. Такой ход может привести к правильному ответу в задаче о покупке и к ошибке в задаче о тарифе. Причина затруднения находится до вычислений: ученик не установил, как связаны величины и какие условия сохраняются. Предлагаю короткий приём предварительного рассуждения: изменить одну величину, описать изменение другой и назвать условие, при котором это рассуждение верно.

Приём рассчитан на 12–15 минут при изучении прямой и обратной пропорциональности. Понадобятся три карточки с задачами и лист для краткой записи. Главный вопрос учителя: «Если первую величину увеличить вдвое, что произойдёт со второй и почему?» Ответ без объяснения не принимается. Слова «больше» и «меньше» уточняются: во сколько раз, на сколько или пока неизвестно.

Три ситуации для сопоставления

Карточка А. Пять одинаковых тетрадей стоят 150 рублей. Сколько стоят десять таких тетрадей, если цена одной тетради не меняется, скидок и дополнительных платежей нет? Ученик мысленно заменяет пять тетрадей десятью: предметов вдвое больше, одинаковых платежей тоже вдвое больше. Стоимость равна 300 рублям. Постоянная величина — цена одной тетради, 30 рублей. При обозначениях n и C зависимость записывается C = 30n; отношение C к n постоянно при n > 0.

Карточка Б. Шесть одинаково производительных работников выполняют заказ за четыре дня. За сколько дней его выполнят двенадцать работников при том же объёме заказа? В учебной модели производительность каждого постоянна, работники не мешают друг другу, работа делится между ними. Людей вдвое больше — времени вдвое меньше, ответ два дня. Постоянен объём работы: 6 · 4 = 12 · 2 = 24 человеко-дня. Если число работников n, а время t, то nt = 24. Обсуждаются положительные значения величин; дробное время в этой модели допускается.

Карточка В. По учебному тарифу поездка стоит 100 рублей за подачу машины и ещё 20 рублей за каждый километр. Стоимость пяти километров равна 200 рублям. Сколько стоят десять километров? Удваивается только плата за расстояние: 100 + 20 · 10 = 300 рублей. Вся стоимость не удваивается, потому что подача оплачивается один раз. Запись C = 100 + 20s показывает постоянную добавку. Это не прямая пропорциональность C и s. Все цены здесь условные.

Как организовать объяснение в паре

На доске остаётся запись «Что меняю — что сохраняю — как связаны величины». Сначала учитель разбирает карточку А вслух. Затем один ученик в паре читает карточку Б и объясняет изменение, другой ищет невысказанное условие. После смены ролей разбирается карточка В. Проверяющий спрашивает: «Что именно удвоилось?», «Какая величина постоянна?», «Можно ли объяснить это по условию, не подставляя числа в пропорцию?»

Затем пары записывают для каждой ситуации две согласованные пары значений: А — (5; 150) и (10; 300), Б — (6; 4) и (12; 2), В — (5; 200) и (10; 300). Для А проверяют одинаковое отношение стоимости к количеству, для Б — одинаковое произведение, для В — отсутствие этих двух свойств. Вычисления становятся проверкой уже выбранного объяснения.

Важно оговорить границу приёма. Одно совпадение при удвоении не доказывает пропорциональность для всех значений. Мысленный опыт помогает выдвинуть или опровергнуть предположение; основание модели берётся из условия: неизменной цены, фиксированного объёма работы или явного правила тарифа. В карточке В одного несовпадения достаточно, чтобы опровергнуть прямую пропорциональность всей стоимости расстоянию.

Ошибка как повод уточнить модель

Предлагается спорное решение к карточке В: «Пять километров стоят 200 рублей, десять километров вдвое больше, значит, 400 рублей». Вместо исправления последнего числа учитель просит разложить 200 на две части: 100 рублей за подачу и 100 за расстояние. Затем ученик объясняет, какая часть повторяется при добавлении ещё пяти километров. Ошибка становится видимой как повторное начисление платы за подачу.

Другая ошибка возникает в карточке Б: «Двенадцать работников будут работать восемь дней». Проверка начинается с вопроса, может ли увеличение числа одинаково производительных работников при прежнем заказе увеличить время в выбранной модели. Затем сравниваются произведения 6 · 4 и 12 · 8. Несовпадение означает, что решается задача с другим объёмом работы. В реальном производстве вывод требует проверки исходных предположений; учебная модель не обещает удвоения производительности любой бригады.

Самостоятельная карточка и проверка

Задание 1. Три метра одной ткани стоят 450 рублей. Цена метра неизменна, скидок нет. Сколько стоят девять метров? До вычислений назови постоянную величину и объясни изменение стоимости. Задание 2. Четыре одинаковых насоса наполняют резервуар за шесть часов. Сколько времени нужно восьми насосам при совместной работе с постоянной производительностью, без утечек и ограничения общего потока?

Задание 3. Аренда инструмента стоит 200 рублей за оформление и 50 рублей за каждый час. Найди стоимость двух и четырёх часов. Объясни, можно ли вторую стоимость получить удвоением первой. Задание 4. Придумай изменение условия задания 1, после которого прямая пропорциональность перестанет описывать всю стоимость покупки.

Ответы: 1 — 1350 рублей, количество и стоимость увеличились втрое, постоянна цена 150 рублей за метр. 2 — три часа, число насосов удвоилось, время уменьшилось вдвое, произведение равно 24 насосо-часам. 3 — 300 и 400 рублей; удвоение 300 ошибочно повторяет плату за оформление. 4 — возможна фиксированная плата за доставку, например 100 рублей за покупку; тогда C = 150n + 100. Достаточно одного обоснованного изменения.

Что показывает индивидуальная проверка

На выходе каждый ученик получает новый вопрос: «Абонентская плата — 120 рублей, сверх неё оплачивается каждый использованный пакет данных по 15 рублей. Если число пакетов увеличить втрое, увеличится ли втрое весь платёж?» Верный ответ — нет: неизменная часть платится один раз. Например, два пакета стоят 150 рублей, шесть — 210. Для ответа достаточно объяснения по структуре платежа; пример служит дополнительной проверкой.

Проверяются три отдельных признака: ученик называет сохраняемое условие, объясняет изменение величины и выбирает согласованную с условием запись. Ошибка в вычислении при верной модели требует одной помощи, верный счёт при неверной модели — другой. Тем, кому трудно, предлагается разложить стоимость на одинаковые платежи и постоянную часть. Более подготовленный ученик объясняет, почему сами слова «в два раза» ещё не дают права составлять пропорцию.