Проверка делителя перед преобразованием уравнения

Автор: Акаева Петимат Исаевна

Организация: МБОУ «Лингвистическая школа им. Ю. Д. Дешериева»

Населенный пункт: Чеченская Республика, г. Грозный

Математика · 9 класс · 20–25 минут

Где может исчезнуть корень

Предлагаю короткий приём для повторения квадратных уравнений: перед делением обеих частей на выражение с переменной ученик отдельно проверяет, когда предполагаемый делитель равен нулю. Проверка помогает заметить корень, который исчезает при поспешном сокращении. Достаточно одного дополнительного вопроса: «А что происходит в случае нулевого делителя?».

Работа начинается с намеренно неполного решения. Дано уравнение x(x − 5) = 3x. Если сразу разделить обе части на x, останется x − 5 = 3 и получится только x = 8. Подстановка подтверждает этот корень, но не сообщает, что потерян ещё один. Нужна проверка самого перехода между уравнениями.

Два случая вместо поспешного сокращения

На доске оставляем исходное уравнение и делитель x. Сначала рассматриваем x = 0: в исходной записи обе части равны нулю, поэтому 0 — корень. Затем рассматриваем x ≠ 0: деление допустимо и даёт x = 8. В ответ включаем оба значения. Условие x ≠ 0 относится только ко второму случаю; оно не становится ограничением исходного уравнения.

 

Для сравнения показываем решение вынесением общего множителя. Оно подтверждает результат разбора случаев. Ученику важно объяснить, почему появились две возможности, а не выучить запрет на сокращение: при ненулевом делителе такое деление вполне допустимо.

Как провести фрагмент урока

На общий разбор отводится 6–7 минут. Затем пары получают рабочий лист: один ученик называет делитель, другой проверяет его нулевое значение в исходной записи. На самостоятельную часть и обсуждение предусматривается ещё 12–15 минут. В каждом ответе просят назвать потерянный случай и объяснить, как его учли.

Для поддержки можно дать две незаполненные строки «делитель равен нулю» и «делитель не равен нулю». Числа и решения в них ученик вписывает сам. Дополнительное задание меняет равенство так, что нулевое значение делителя перестаёт быть корнем: оно показывает, зачем нужна подстановка, а не автоматическое добавление числа в ответ.

Материал содержит специально составленные учебные примеры. Приём предлагается для урока повторения; результаты его проведения не заявляются. Он разобран на многочленных уравнениях и не заменяет проверку области допустимых значений, когда в исходной записи есть дроби или другие ограничения.

Рабочий лист

Имя ________________________ Класс ______ Дата __________

Перед делением на выражение с переменной назови делитель. Проверь его нулевое значение в исходном уравнении. Для ненулевого значения реши второй случай. Запиши все найденные корни.

1 Восстанови пропущенный случай

 

Ученик разделил обе части на x − 2 и получил x = 1. Какое условие нужно было поставить перед делением? Какое значение следует проверить отдельно?

Условие деления: _____________________________________________________

Отдельная проверка в исходной записи: ________________________________

Полный ответ: ________________________________________________________

2 Объясни предел проверки подстановкой

Оба корня из задания 1 проверены подстановкой. Почему подстановка одного только числа 1 не помогла бы обнаружить пропущенный корень?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

3 Перенеси приём на новое выражение

 

Предполагаемый делитель: _____________________________________________

Случай нулевого делителя: ____________________________________________

Случай ненулевого делителя: __________________________________________

Ответ: _______________________________________________________________

4 Проверь изменение условия

 

Является ли 0 корнем? Проверь подстановкой. Решать полученное квадратное уравнение полностью в этом задании не требуется.

Проверка и вывод: ____________________________________________________

______________________________________________________________________

Ответы и методические комментарии

1. Перед делением требуется x − 2 ≠ 0, то есть x ≠ 2. Отдельно проверяем x = 2: обе части исходного уравнения равны нулю. При x ≠ 2 получаем x + 3 = 4 и x = 1. Полный ответ: 1 и 2. Корень 1 относится к ненулевому случаю, поэтому условие второго случая выполнено.

 

2. Подстановка проверяет, подходит ли выбранное значение исходному уравнению. Она не перечисляет отсутствующие в ответе значения. Чтобы обнаружить потерю, нужно проверить допустимость деления и отдельно рассмотреть нулевой делитель. Ученик может выразить это своими словами, без термина «равносильность».

3. Делитель x + 1 обращается в нуль при x = −1. Подстановка в исходное уравнение даёт 0 = 0, значит, −1 — корень. При x ≠ −1 допустимо деление: x − 4 = 2, откуда x = 6. Полный ответ: −1 и 6. Для второго корня делитель равен 7 и не равен нулю.

 

4. При x = 0 левая часть равна 0, правая — 2. Равенства нет, поэтому 0 не является корнем. Значение нулевого делителя не добавляют в ответ автоматически. В этом примере переход к общему множителю x, как в учебной модели, не приводит к произведению, равному нулю: справа остаётся 2.

Критерии самостоятельного переноса

Критерии фиксируются отдельно как «самостоятельно», «с подсказкой» или «пока не выполнено». По этому короткому листу необязательно выставлять отметку.

1. В задании 3 правильно названо выражение x + 1, на которое собирались делить.
2. Значение −1 найдено и проверено в исходной записи, а не только в преобразованной.
3. Ненулевой случай решён с соблюдением своего условия; в ответ включены оба корня.
4. В задании 4 сделан вывод, что нулевое значение делителя может не быть корнем.

Если ученик получает только 6 в задании 3, возвращаемся к условию деления и просим проверить −1. Если он механически включает 0 в ответ задания 4, разбираем значения левой и правой частей. Перенос приёма подтверждается, когда новое выражение x + 1 разобрано без подсказки, а отдельный нулевой случай принят или отклонён по исходному равенству.

В заключение предлагается устная формулировка: «Деление на выражение с переменной допустимо там, где оно не равно нулю. Остальные значения я проверяю отдельно». Она связывает вычислительное действие с условием его выполнения.