Проверка равновозможности исходов перед вычислением вероятности

Автор: Элиханова Раяна Ибрагимовна

Организация: МБОУ «Лингвистическая школа им. Ю. Д. Дешериева»

Населенный пункт: Чеченская Республика, г. Грозный

Математика · 11 класс · 20–25 минут

Почему названия вариантов могут ввести в заблуждение

Предлагаю приём для повторения вероятности в одиннадцатом классе: прежде чем делить число благоприятных исходов на общее число исходов, ученик письменно объясняет, почему выбранные элементарные исходы равновозможны. Для этого он раскрывает каждый укрупнённый вариант в конкретные результаты опыта. Приём подходит для короткого обсуждения ошибок и самостоятельного переноса на новую модель.

Учебная ситуация: независимо бросают две правильные игральные кости, красную и синюю. На каждой грани одной кости равновозможно выпадение числа от 1 до 6. Записываем результат упорядоченной парой: сначала число красной кости, затем синей. Цвет позволяет различать, например, пары (1; 6) и (6; 1). По независимости все 36 пар равновозможны.

Развернуть сумму в пары

Предлагается ошибочное рассуждение: «Возможные суммы — от 2 до 12, всего 11 вариантов, значит, вероятность каждой суммы равна 1/11». Чтобы проверить это, достаточно раскрыть две суммы. Для суммы 2 существует только пара (1; 1), а для суммы 7 — шесть разных пар. Значит, суммы не являются равновозможными исходами выбранного опыта.

 

Точный ответ строится по парам, а не по перечню сумм. Равновозможность относится к результатам бросков, определённым условиями модели. Одного факта, что варианты можно перечислить, для формулы отношения количеств недостаточно.

Как устроить проверку модели

На первом этапе пары учащихся за 5–7 минут перечисляют результаты для сумм 2 и 7. Затем один участник объясняет, что считается элементарным исходом, второй проверяет различимость костей и условие независимости. На рабочий лист и обсуждение отводится ещё 15 минут. Вместо длинного повторного опыта используется точное перечисление; реальный эксперимент для решения не требуется.

Для поддержки можно начертить пустую сетку 6 на 6: строки соответствуют красной кости, столбцы — синей. Благоприятные клетки ученик отмечает сам. При усложнении сумма заменяется произведением, а затем рассматривается опыт с двумя извлечениями карточки с возвращением. Это проверяет, переносится ли способ выбора равновозможных пар.

Все опыты в материале — специально заданные математические модели. Условия правильности костей, независимости бросков и равновозможного выбора карточек указываются явно. Выводов о частотах реальных испытаний и результатах проведения урока не приводится. В моделях с неравновозможными парами данная формула подсчёта требует пересмотра.

Рабочий лист

Имя ________________________ Класс ______ Дата __________

Во всех заданиях с костями используются две правильные различимые кости. Броски независимы. Пару записывай в порядке «красная; синяя».

1 Назови равновозможные исходы

Сколько всего упорядоченных пар возможно? Почему нельзя считать 11 возможных сумм равновозможными? Приведи короткий контрпример.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

2 Перечисли благоприятные пары

Найди вероятность того, что сумма выпавших чисел равна 6. Перечисли все подходящие пары.

Пары: ________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Вероятность: _________________________________________________________

3 Измени событие

Найди вероятность того, что произведение выпавших чисел равно 6. Проверь, учтены ли перестановки разных чисел.

Пары: ________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Вероятность: _________________________________________________________

4 Самостоятельный перенос

В коробке лежат три одинаковые на ощупь карточки с числами 1, 2 и 3. На каждом шаге каждую карточку выбирают равновозможно. Выбранную карточку возвращают, карточки перемешивают и независимо выполняют второй выбор. Какова вероятность суммы 4?

Число равновозможных упорядоченных пар: ______________________________

Благоприятные пары: __________________________________________________

Вероятность и объяснение модели: _____________________________________

______________________________________________________________________

Ответы и проверка рассуждений

1. Всего 6 · 6 = 36 упорядоченных пар. Каждая имеет вероятность 1/36: результаты отдельных костей равновозможны, броски независимы. Сумма 2 получается одной парой (1; 1), сумма 7 — шестью. Поэтому перечень 11 сумм не является перечнем равновозможных исходов.

Для суммы 7 подходят пары (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1). При принятом порядке цветов пары с переставленными разными числами различаются. Пара с одинаковыми числами при перестановке новой пары не образует.

2. Сумму 6 дают пять пар: (1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1). Вероятность равна 5/36. Перечень организован по возрастанию первого числа, что помогает увидеть полноту списка.

3. Произведение 6 дают четыре пары: (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1). Вероятность равна 4/36 = 1/9. Результат 2/36 возникает, если ошибочно объединить пары с переставленными разными числами, сохранив при этом знаменатель 36.

Можно объединять пары в укрупнённые варианты, но тогда придётся учитывать их разные вероятности. В этой работе удобнее сохранять единую модель из 36 равновозможных упорядоченных пар.

4. При возвращении карточки остаются возможными все 3 · 3 = 9 упорядоченных пар. Благодаря явным условиям выбора и независимости каждая имеет вероятность 1/9. Сумму 4 дают (1; 3), (2; 2), (3; 1). Искомая вероятность — 3/9 = 1/3.

 

Ответ 1/5, полученный из перечня сумм от 2 до 6, неверен по той же причине, что в модели с костями: суммы имеют разное число представлений. Если карточку не возвращать, модель изменится; этот случай в условии самостоятельного задания не рассматривается.

Критерии самостоятельного переноса

1. В задании 4 элементарным исходом выбрана упорядоченная пара результатов двух извлечений.
2. Общее число пар найдено с учётом возвращения карточки.
3. Равновозможность объяснена условиями модели, а не самим наличием перечня.
4. Благоприятные пары перечислены без пропусков и повторов; отношение количеств вычислено верно.

Каждый критерий отмечается отдельно как «самостоятельно», «с подсказкой» или «пока не выполнено». Если теряется переставленная пара, возвращаемся к порядку результатов. Если выбран знаменатель 5, предлагаем раскрыть суммы 2 и 4 в пары. Самостоятельность видна, когда ученик выбирает пространство из девяти пар и объясняет его без опоры на готовую сетку 6 на 6.