Математическое ожидание случайной величины

Автор: Камынин Вячеслав Владимирович

Организация: МОАУ СОШ №28 г.Орска

Населенный пункт: Оренбургская область, г.Орск

Тема. Математическое ожидание случайной величины.

Цель. Познакомить учащихся с понятием математическое ожидание и его свойствами

 

Проведем эксперемент: Будем бросать игральную кость 20 раз. Каждый раз записываем количество выпавших очков. Затем вычислим среднее арифметическое.

В рассматриваемом примере мы имеем дело со случайной величиной. Она может принимать значения 1,2,3,4,5 и 6. Эти числа означают количество очков, выпавших на грани кости.

Найдем вероятность каждого значения этой величины.

Так как вероятность выпадения каждой грани одинакова, то найдем ее: p=

Оформим таблицу:

Значение случайной величины	1	2	3	4	5	6
Вероятность случайной величины

 

Величина, равная сумме произведений значения случайной величины и ее вероятности, называется математическим ожиданием этой случайной величины. Ее обозначают ЕХ

ЕХ=1· + 2· +3· + 4· + 5· + 6· =3,5

Если сравнить полученное число со средним арифметическим в нашем эксперементе, то получим примерно одинаковый результат.

Математическое ожидание иногда называют ожидаемым значением или средним значением случайной величины.

Свойство. Если Х и У две случайные величины, то Х+У тоже случайная величина и Е(Х+У)=ЕХ+ЕУ.

Задача 1. Организатор лотереи напечатал всего 10000 лотерейных билетов. Цена каждого билета 50руб. Известно, что 1000 билетов дают выигрыш 100руб, еще в 10 билетах выигрыш 1000 руб, а на один приходится выигрыш 10000 руб. Все остальные билеты без выигрыша. Найдите математическое ожидание случайной величины « выигрыш на один случайный билет»

Решение: Пусть Х – случайная величина, которая определяет выигрыш.

Запишем данные задачи в таблицу:

Выигрыш	100	1000	10000
Количество билетов	1000	10	1

Найдем вероятность каждого выигрыша:

p1=1000:10000=0,1 ; p2=10:10000=0,001; p3=1:10000=0,0001

Теперь найдем математическое ожидание ЕХ-100*0,1+1000*0,001+10000*0,0001=10+1+1=12 руб.

Итак, математическое ожидание выигрыша на 1 билет составит 12 руб.

Задача 2. Страховой полис КАСКО в страховой компании стоит 35 000 рублей. По статистике в течение года владелец автомобиля попадает в мелкую аварию с вероятностью 0,18, и средняя сумма страховой выплаты при этом равна 50 000 рублей. С вероятностью 0,034 автомобилист попадает в серьезную аварию, и средняя сумма выплаты при этом 700 000 рублей. Найдите

1. Математическое ожидание случайной величины "средняя сумма страховой выплаты"
2. Математическое ожидание случайной величины "средний доход страховой компании от продажи одного полиса"

Решение: Пусть Х – случайная величина, которая определяет сумму страховых выплат.

Составим таблицу:

Страховая выплата	50000	700000
Вероятность	0,18	0,034

 

Найдем математическое ожидание случайной величины Х.

ЕХ=0,18*50000+0,034*700000=32800.

Тогда математическое ожидание случайной величины « средний доход страховой компании от продажи одного полиса» 35000-32800=2200

Ответ: а) 32800 б) 2200

Задача 3. В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. С вероятностью 0,11 к вечеру в первом автомате заканчивается кофе. Во втором автомате кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,14. . Найдите математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе. Считать события независимыми.

Решение. Пусть Х это случайная величина, которая означает количество автоматов, в которых к вечеру закончится кофе. Эта величина может принимать значения: 0 (кофе останется в обоих автоматах), 1 ( кофе закончится только в одном автомате , 2 ( кофе закончится в обоих автоматах).

Найдем вероятность каждого события

Р1=(1-0,11)*(1-0,14)=0,89*0,86

Р2=0.11*(1-0,14)+0,14*(1-0,11)=0,2192

Р3=0.11*0,14=0,0154

Найдем теперь математическое ожидание того, что кофе закончится в обоих автоматах: ЕХ=0*0.89*0,86+1*0.2192+2*0,0154=0,25

Ответ: 0,25

Задача 4. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, команда должна набрать не менее 4 очков в трех играх. В случае выигрыша начисляется 2 очка, в случае проигрыша – 0 очков. Вероятность выиграть в первой игре равна 0,5, во второй – 0,8, в третьей – 0,4. Найдите математическое ожидание общего числа очков, которые может набрать команда в трех играх.

Решение.

Рассмотрим первую игру.

Пусть Х1 – случайная величина. Которая определяет количество очков, которое команда может набрать первой игре. Она может принимать два значения: 2 и 0.

Случайная величина Х1	2	0
вероятность	0,5	1-0,5=0.5

 

Е(Х1)=2*0,5+0*0,5=1

Рассмотрим вторую игру.

Случайная величина Х2	2	0
вероятность	0,8	1-0,8=0,2

 

Е(Х2)=2*0,8+0*0,2=1,6

Рассмотрим третью игру.

 

Случайная величина Х3	2	0
вероятность	0,4	1-0,4=0,6

 

Е(Х3)=2*0,4+0*0,6=0,8

Е(Х)=1+1,6+0,8=3,4

 

 

Тема. Математическое ожидание случайной величины.

Цель. Познакомить учащихся с понятием математическое ожидание и его свойствами

 

Проведем эксперемент: Будем бросать игральную кость 20 раз. Каждый раз записываем количество выпавших очков. Затем вычислим среднее арифметическое.

В рассматриваемом примере мы имеем дело со случайной величиной. Она может принимать значения 1,2,3,4,5 и 6. Эти числа означают количество очков, выпавших на грани кости.

Найдем вероятность каждого значения этой величины.

Так как вероятность выпадения каждой грани одинакова, то найдем ее: p=

Оформим таблицу:

Значение случайной величины	1	2	3	4	5	6
Вероятность случайной величины

 

Величина, равная сумме произведений значения случайной величины и ее вероятности, называется математическим ожиданием этой случайной величины. Ее обозначают ЕХ

ЕХ=1· + 2· +3· + 4· + 5· + 6· =3,5

Если сравнить полученное число со средним арифметическим в нашем эксперементе, то получим примерно одинаковый результат.

Математическое ожидание иногда называют ожидаемым значением или средним значением случайной величины.

Свойство. Если Х и У две случайные величины, то Х+У тоже случайная величина и Е(Х+У)=ЕХ+ЕУ.

Задача 1. Организатор лотереи напечатал всего 10000 лотерейных билетов. Цена каждого билета 50руб. Известно, что 1000 билетов дают выигрыш 100руб, еще в 10 билетах выигрыш 1000 руб, а на один приходится выигрыш 10000 руб. Все остальные билеты без выигрыша. Найдите математическое ожидание случайной величины « выигрыш на один случайный билет»

Решение: Пусть Х – случайная величина, которая определяет выигрыш.

Запишем данные задачи в таблицу:

Выигрыш	100	1000	10000
Количество билетов	1000	10	1

Найдем вероятность каждого выигрыша:

p1=1000:10000=0,1 ; p2=10:10000=0,001; p3=1:10000=0,0001

Теперь найдем математическое ожидание ЕХ-100*0,1+1000*0,001+10000*0,0001=10+1+1=12 руб.

Итак, математическое ожидание выигрыша на 1 билет составит 12 руб.

Задача 2. Страховой полис КАСКО в страховой компании стоит 35 000 рублей. По статистике в течение года владелец автомобиля попадает в мелкую аварию с вероятностью 0,18, и средняя сумма страховой выплаты при этом равна 50 000 рублей. С вероятностью 0,034 автомобилист попадает в серьезную аварию, и средняя сумма выплаты при этом 700 000 рублей. Найдите

1. Математическое ожидание случайной величины "средняя сумма страховой выплаты"
2. Математическое ожидание случайной величины "средний доход страховой компании от продажи одного полиса"

Решение: Пусть Х – случайная величина, которая определяет сумму страховых выплат.

Составим таблицу:

Страховая выплата	50000	700000
Вероятность	0,18	0,034

 

Найдем математическое ожидание случайной величины Х.

ЕХ=0,18*50000+0,034*700000=32800.

Тогда математическое ожидание случайной величины « средний доход страховой компании от продажи одного полиса» 35000-32800=2200

Ответ: а) 32800 б) 2200

Задача 3. В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. С вероятностью 0,11 к вечеру в первом автомате заканчивается кофе. Во втором автомате кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,14. . Найдите математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе. Считать события независимыми.

Решение. Пусть Х это случайная величина, которая означает количество автоматов, в которых к вечеру закончится кофе. Эта величина может принимать значения: 0 (кофе останется в обоих автоматах), 1 ( кофе закончится только в одном автомате , 2 ( кофе закончится в обоих автоматах).

Найдем вероятность каждого события

Р1=(1-0,11)*(1-0,14)=0,89*0,86

Р2=0.11*(1-0,14)+0,14*(1-0,11)=0,2192

Р3=0.11*0,14=0,0154

Найдем теперь математическое ожидание того, что кофе закончится в обоих автоматах: ЕХ=0*0.89*0,86+1*0.2192+2*0,0154=0,25

Ответ: 0,25

Задача 4. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, команда должна набрать не менее 4 очков в трех играх. В случае выигрыша начисляется 2 очка, в случае проигрыша – 0 очков. Вероятность выиграть в первой игре равна 0,5, во второй – 0,8, в третьей – 0,4. Найдите математическое ожидание общего числа очков, которые может набрать команда в трех играх.

Решение.

Рассмотрим первую игру.

Пусть Х1 – случайная величина. Которая определяет количество очков, которое команда может набрать первой игре. Она может принимать два значения: 2 и 0.

Случайная величина Х1	2	0
вероятность	0,5	1-0,5=0.5

 

Е(Х1)=2*0,5+0*0,5=1

Рассмотрим вторую игру.

Случайная величина Х2	2	0
вероятность	0,8	1-0,8=0,2

 

Е(Х2)=2*0,8+0*0,2=1,6

Рассмотрим третью игру.

 

Случайная величина Х3	2	0
вероятность	0,4	1-0,4=0,6

 

Е(Х3)=2*0,4+0*0,6=0,8

Е(Х)=1+1,6+0,8=3,4

 

 

 

 

 

 

.