Проверка правила сравнения дробей контрпримером

Автор: Даутмурзаева Аминат Германовна

Организация: МБОУ «Лицей № 1 им. Н.А. Назарбаева» г. Грозного

Населенный пункт: Чеченская Республика, г. Грозный

5 класс

Учащиеся проверяют слишком широкое правило на специально подобранной паре дробей и формулируют необходимое условие.

Педагогическая находка

При сравнении дробей ребёнок может запомнить отдельное наблюдение как универсальное правило. Например, увидев, что 5/9 больше 2/9, он решает, будто больший числитель всегда означает большую дробь. Приём проверки контрпримером предлагает не сообщать исправление сразу, а дать школьникам короткую последовательность испытаний. Работа предназначена для пятого класса после знакомства с правильными дробями и сравнением дробей с одинаковыми числителями или знаменателями.

Класс получает высказывание, которое звучит убедительно, но не содержит существенного условия. Сначала дети находят пару, где оно работает. Затем пытаются подобрать пару, где оно нарушается. Учитель поясняет: сколько угодно удачных примеров ещё не доказывают общее утверждение, а одного подходящего контрпримера достаточно, чтобы показать его неверность. После этого правило нужно уточнить, а не просто вычеркнуть.

У каждого участника три короткие записи: проверяемое утверждение; вычисленная или наглядно обоснованная пара; исправленное правило. Контрпример считается найденным только тогда, когда исходные условия высказывания соблюдены. Нельзя опровергать правило о дробях с одинаковыми знаменателями, выбрав разные знаменатели. Именно эта проверка делает задание упражнением на рассуждение, а не соревнованием в угадывании ответа.

На первом этапе учитель вместе с детьми рассматривает утверждение «Если числитель больше, то дробь больше». Пара 5/9 и 2/9 поддерживает мысль, но пара 3/10 и 2/5 её опровергает: 2/5 равно 4/10, следовательно, 3/10 меньше. Уточнение состоит в добавлении условия об одинаковых знаменателях. Важно вслух показать, какая часть первоначальной фразы была слишком широкой.

Затем пары работают самостоятельно около десяти минут и обмениваются доказательствами. В завершение каждый выполняет один новый вопрос без помощи партнёра. Учитель отслеживает не количество придуманных дробей, а соответствие примера проверяемому правилу и точность уточнения. Приём не требует преждевременного введения универсального алгоритма сравнения любых дробей: допустимы рисунок равных целых, приведение к знакомому знаменателю и рассуждение через половину.

На первом занятии удобно заранее оставить на доске образец записи, чтобы письменное оформление не отвлекало от проверки математического условия.

Набор испытаний для ученика

Работайте с положительными правильными дробями. Знаменатель показывает число равных частей одного и того же целого. Когда используете рисунок, целые должны быть одинакового размера. Для каждого утверждения заполните три строки: пример, где оно выполняется; проверка на предложенной паре; вывод об условии. Если утверждение верно, не придумывайте ложный контрпример. Объясните, почему предложенная пара его подтверждает или почему не подходит для проверки.

Проверьте предложенное опровержение: «Правило В неверно, потому что 5/12 меньше 2/3, хотя пять больше двух». Назовите условие, которое нарушил автор. Можно ли считать эту пару контрпримером к правилу В? Отдельно сравните сами дроби: математическая правильность неравенства и пригодность примера для опровержения — разные вопросы.

Теперь придумайте собственное слишком широкое утверждение о дробях. Можно начать словами «Дробь, у которой…». Обменяйтесь с партнёром и попробуйте найти контрпример. Если сделать это трудно, разрешается использовать утверждения А или Б, заменив числа. После обсуждения запишите исправленную фразу так, чтобы другой ученик понял, при каких условиях ею можно пользоваться.

Самостоятельный выходной вопрос: ученик сравнил 6/11 и 5/8 и написал «Шесть больше пяти, поэтому первая дробь больше». Объясните, почему его обоснование не работает. Затем решите доступную проверочную задачу: сравните 6/11 и 5/11. В первом вопросе достаточно указать недостаточность основания; находить точное отношение между 6/11 и 5/8 без освоенного способа не требуется. Во втором вопросе условие одинаковых знаменателей выполнено, и ответ должен сопровождаться правилом.

Разбор решений и наблюдение за рассуждением

В испытании А величина 2/5 равна 4/10, поэтому 3/10 меньше 2/5, хотя числитель первой дроби больше. Контрпример верен: он соответствует исходной фразе и показывает её ошибочность. Исправленное правило: при одинаковых знаменателях из двух положительных дробей больше та, у которой числитель больше. В испытании Б величина 3/8 меньше 3/4: при том же числе взятых долей каждая восьмая часть меньше каждой четвёртой.

Испытание В подтверждает верное правило: 5/12 меньше 7/12. Подходящая дополнительная пара, например, 2/9 и 4/9. Испытание Г также подтверждает правило: 4/9 меньше 4/7, потому что при делении одинакового целого на девять частей каждая доля меньше одной седьмой. Оговорка об одинаковом целом необходима при использовании рисунков: большой пирог и маленький пирог нельзя сравнивать только по названиям долей.

Предложенное опровержение правила В не подходит: знаменатели 12 и 3 различны, то есть исходное условие не выполнено. Само неравенство 5/12 меньше 2/3 верно, поскольку 2/3 равно 8/12, однако оно не опровергает правило для одинаковых знаменателей. В выходном вопросе сравнение числителей недостаточно, так как знаменатели различны. Для второй пары ответ однозначен: 6/11 больше 5/11.

Максимум составляет восемь баллов. Если ребёнок нашёл подходящую пару, но не уточнил правило, полезно попросить дописать только слова «при условии…». Если сравнение сделано по разным целым, нужно вернуть одинаковые полоски бумаги. Ошибку в подборе контрпримера следует обсуждать отдельно от вычислительной ошибки: эти затруднения требуют разных упражнений.

Для поддержки учитель предлагает готовый банк дробей и разрешает пользоваться рисунками. Для усложнения ученики проверяют несколько формулировок, отличающихся одним условием. Переход к более общему способу сравнения выполняется по программе класса. Не нужно вводить отрицательные дроби или формальное доказательство через алгебраические преобразования ради усложнения; учебная цель здесь состоит в осознанной проверке высказывания и границ его применения.