Регламент: 45 минут

 

Раздел 1. Пояснительная записка

1.1. Актуальность

ФГОС основного общего образования (приказ Минпросвещения России от 31.05.2021 № 287) относит универсальные учебные действия (УУД) к метапредметным результатам. Познавательные УУД — ядро «умения учиться»: способность ставить познавательную задачу, искать и преобразовывать информацию, логически рассуждать, моделировать и решать проблемы. На практике работа на уроках математики часто сводится к репродуктивным заданиям, а приёмы формирования познавательных УУД применяются эпизодически и бессистемно: без привязки к этапу урока и без отслеживания результата. При этом математика — естественная среда для этих действий: задачи, модели, графики, фигуры, доказательства. Мастер-класс даёт педагогам систему приёмов и готовые задания для переноса в практику.

1.2. Цель и задачи мастер-класса

Цель: представить систему приёмов формирования познавательных УУД на уроках математики в 5–9 классах и отработать их применение в практической деятельности педагогов.

– Раскрыть сущность и структуру познавательных УУД.

– Показать конкретные приёмы с примерами заданий для 5–6 и 7–9 классов.

– Организовать практическую работу участников по конструированию заданий.

– Сформировать мотивацию к системному использованию приёмов в собственной практике.

1.3. Планируемые результаты для участников

– знают: три группы познавательных УУД и их состав;

– умеют: подбирать приём под этап урока, класс и учебное действие;

– конструируют: задание, формирующее конкретное познавательное УУД;

– владеют: критериями оценки результата (наблюдаемые действия ученика, продукты деятельности).

1.4. Оборудование и материалы

– компьютер, проектор, презентация (12 слайдов);

– раздаточный материал: памятка, рабочий лист, лист рефлексии;

– маркеры, листы А3 для групповой работы; доска, карточки с заданиями.

1.5. Регламент мастер-класса

№	Этап, время	Содержание	Форма работы
1	Мотивация и целеполагание (5 мин)	«Отсроченная отгадка» (задание с ошибкой-ловушкой); «Верю — не верю» (5 утверждений); цель и задачи	Фронтальная
2	Теоретический блок (8 мин)	Мини-лекция о познавательных УУД; совместный кластер	Эвристическая беседа
3	Демонстрация приёмов (15 мин)	8 приёмов с готовыми заданиями для 5–6 и 7–9 классов; комментарий: какое УУД, какой этап урока	Демонстрационная
4	Практикум (12 мин)	Работа трёх групп по конструированию заданий; рабочий лист; мини-презентации групп	Групповая (3 группы)
5	Рефлексия, итоги (5 мин)	«Синквейн»; лист рефлексии; итоговый вывод ведущего	Индивидуальная, фронтальная

 

Раздел 2. Теоретический блок. Познавательные УУД: сущность и состав

2.1. Понятие УУД и место познавательных действий в системе

Универсальные учебные действия — совокупность способов действий учащегося, обеспечивающих его способность к самостоятельному усвоению новых знаний, то есть умение учиться. ФГОС ООО выделяет четыре группы УУД: личностные, регулятивные, коммуникативные и познавательные. Познавательные УУД обеспечивают ориентировку в материале, переработку и преобразование информации, построение рассуждений и решений. Федеральная рабочая программа по математике (ИСРО РАО, edsoo.ru) конкретизирует их в предметном содержании: анализ, синтез, сравнение, классификация, моделирование, смысловое чтение, логические рассуждения и доказательства.

2.2. Три группы познавательных УУД

Общеучебные действия: поиск и выделение информации; знаково-символические действия, включая моделирование (преобразование объекта в модель с выделением существенных характеристик); смысловое чтение; умение осознанно строить речевое высказывание; выбор эффективных способов решения задач; рефлексия способов и условий действия.

Логические действия: анализ, синтез, сравнение, классификация, установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений, доказательство, выдвижение гипотез и их обоснование.

Постановка и решение проблем: формулирование проблемы; самостоятельное создание способов решения, творческое и поисковое решение. Эта группа наиболее полно реализуется в работе с текстовыми и нестандартными задачами.

2.3. Специфика математики

Предметный материал математики — числа, выражения, уравнения, функции и графики, геометрические фигуры, текстовые задачи, таблицы и диаграммы — готовая среда для познавательных действий. Задача на движение естественно превращается в модель (чертёж, таблицу, уравнение); изучение четырёхугольников требует сравнения и классификации; тождественные преобразования — проверки и доказательства. Формирование познавательных УУД не требует «надстройки» над предметом: достаточно особым образом организовать привычную работу с содержанием.

2.4. Как познавательные УУД проявляются на уроке

УУД	Действие ученика	Наблюдаемый признак на уроке
Общеучебные: поиск информации	Находит данные в тексте задачи, таблице, справочнике	Выделяет данные, переносит в краткую запись
Общеучебные: моделирование	Строит чертёж, схему, таблицу, график	Сам составляет модель задачи
Общеучебные: смысловое чтение	Понимает условие, отделяет данные от требования	Пересказывает задачу своими словами
Логические: сравнение	Находит сходство и различие объектов, способов	Формулирует вывод «чем похожи, чем различаются»
Логические: классификация	Распределяет объекты по группам по основанию	Группирует числа, фигуры, уравнения
Логические: цепь рассуждений, доказательство	Выстраивает и обосновывает шаги решения	Восстанавливает порядок действий, даёт контрпример
Логические: гипотезы	Предполагает свойство, формулу и проверяет	Формулирует «если…, то…» и проверяет на примерах
Постановка и решение проблем	Формулирует проблему, предлагает способ решения	Сам находит способ решения новой задачи

 

2.5. Условия эффективности

– системность: приёмы — на каждом уроке, а не от случая к случаю;

– приём подбирается под конкретный этап урока и учебное действие;

– постепенное усложнение: от образца (5 класс) к самостоятельному конструированию (7–9 классы);

– опора на рефлексию: ученик проговаривает способ действия;

– критерии и обратная связь: у задания есть «продукт» и способ оценки.

Раздел 3. Сценарий мастер-класса (45 минут)

Этап 1. Мотивация и целеполагание (5 минут)

Ведущий (на доске записан пример с ошибкой-ловушкой): «Коллеги, прежде чем назвать тему, посмотрите на доску. Решение готово, оно верное. Или нет? Найдите несоответствие». Пример: (25 · 4 − 30) : 5 = 8 при записи шагов 25 · 4 = 100; 100 − 30 = 70; 70 : 5 = 14. Участники ищут несоответствие, ведущий фиксирует версии — участники начинают проверять и доказывать, то есть выполняют познавательные действия.

Ведущий: «Сколько действий вы выполнили: читали, сравнивали, проверяли, доказывали? Это познавательные УУД — метапредметные результаты ФГОС. Сегодня разберём, как формировать их привычными математическими заданиями». Далее — приём «Верю — не верю»: участники голосуют по 5 утверждениям: 1) познавательные УУД формируются только на отдельных «метапредметных» уроках (нет); 2) обычная текстовая задача может формировать несколько познавательных действий (да); 3) «Лови ошибку» формирует прежде всего контроль и анализ (да); 4) работать с гипотезами на математике можно только в 7–9 классах (нет); 5) результат формирования УУД нельзя увидеть без заданного «продукта» действия (да). Ведущий объявляет тему и регламент.

Этап 2. Теоретический блок (8 минут)

Мини-лекция с приёмом «Кластер». Ведущий рисует центральный овал «Познавательные УУД» и три ветви: «Какие?» — «Где на уроке?» — «Как увидеть результат?». Участники вместе с ведущим достраивают схему: три группы УУД; этапы урока (актуализация, целеполагание, открытие нового, закрепление, рефлексия); продукты деятельности (краткая запись, схема, кластер, объяснение решения, контрпример). Ключевые тезисы: «Познавательное УУД — это действие ученика, а не метод учителя; результат видим в его действиях и продуктах. Приём без указания формируемого действия — развлечение; приём с указанием действия и критерия результата — методика».

Этап 3. Демонстрация приёмов (15 минут)

Ведущий показывает 8 приёмов с готовыми заданиями (формулировки — в разделе 4): «Лови ошибку», «Верю — не верю», «Кластер», «Сравни и найди», «Составь задачу по чертежу/графику/таблице», «Дополни условие: лишние и недостающие данные», «Смысловое чтение текстовой задачи», «Создай гипотезу и проверь». По каждому комментирует: какое УУД формируется, на каком этапе урока применяется, каков «продукт» ученика. Ведущий: «Один и тот же текст задачи можно превратить в задание на чтение, на моделирование или на проблему — меняется только вопрос и требуемый продукт».

Этап 4. Практикум участников (12 минут)

Деление на 3 группы. Группа 1 — 5–6 классы (арифметика, дроби, проценты, текстовые задачи); группа 2 — 7–9 классы, алгебра (преобразования, уравнения, функции); группа 3 — 7–9 классы, геометрия (треугольники, четырёхугольники, окружность). Задание: выберите 2 приёма из памятки, составьте к ним конкретные задания по своему разделу и определите формируемое УУД (в терминах действия ученика). Форма представления: заполненный рабочий лист + 1-минутная презентация группы.

Критерии оценки работы группы: соответствие приёма и задания разделу; формируемое УУД названо действием ученика; определены продукт и критерий результата; задание применимо на ближайших уроках. Роль ведущего — консультант: ведущий проходит по группам, помогает перевести замысел в действие ученика. Работы размещаются на доске — общая копилка заданий.

Этап 5. Рефлексия и подведение итогов (5 минут)

Ведущий: «Подведём итог приёмом, который применимо завтра, — синквейном». Структура: 1 существительное, 2 прилагательных, 3 глагола, фраза, вывод. Пример: «УУД; познавательные, видимые; сравнивать, моделировать, доказывать; формируются привычными заданиями; умение учиться». Участники заполняют лист рефлексии (что возьму в практику / что уточнить / что было трудно). Итоговый вывод ведущего: «Познавательные УУД формируются не особым уроком, а заданиями, в которых ученик сравнивает, моделирует, проверяет и доказывает. Начните с двух приёмов — “Лови ошибку” и “Составь задачу по чертежу” — и через месяц посмотрите на продукты деятельности. Спасибо за работу!»

Раздел 4. Система приёмов формирования познавательных УУД

Для каждого приёма указаны: формируемая группа УУД, этап урока, механизм, примеры для 5–6 и 7–9 классов, критерий результата. Формулировки примеров применимы на уроках непосредственно.

4.1. «Лови ошибку»

УУД: общеучебные (контроль, оценка), логические (анализ, доказательство). Этап: актуализация, закрепление, рефлексия. Механизм: учитель предъявляет готовое решение с заложенной ошибкой; ученик проверяет его, находит ошибку и объясняет нарушенное правило. Пример 5–6: «Проверьте решение: 3 + 2 · 4 = 20. Найдите ошибку, объясните и исправьте» (ошибка в порядке действий, верно 11). Пример 7–9: «Дано: 2(x + 3) = x + 8 → 2x + 3 = x + 8 → x = 5. Найдите ошибку в преобразовании и решите верно» (ошибка при раскрытии скобок, верно x = 2). Критерий: ученик объясняет, какое правило нарушено.

4.2. «Верю — не верю»

УУД: логические (анализ, доказательство, гипотезы). Этап: актуализация, целеполагание, закрепление. Механизм: 5–7 утверждений о свойствах, формулах, определениях; ученик аргументированно соглашается или опровергает, приводит контрпример. Пример 5–6: «Верно ли, что 0,5 больше 1/3?» (да: 0,5 = 1/2 > 1/3 — обосновать переходом к общему знаменателю). Пример 7–9: «Верно ли, что квадрат любого числа положителен?» (нет: 0² = 0; уточнение — «неотрицателен»). Критерий: каждый ответ подкреплён примером, контрпримером или ссылкой на правило.

4.3. «Кластер / Карта понятий»

УУД: общеучебные (систематизация), логические (классификация). Этап: целеполагание, изучение нового, обобщение. Механизм: от ключевого понятия строятся ветви-связи с видовыми понятиями, свойствами, примерами; кластер «читается» и уточняется. Пример 5–6: кластер «Дроби» (обыкновенные/десятичные, правильные/неправильные, основное свойство, действия, проценты). Пример 7–9: кластер «Квадратные уравнения» (полные/неполные, дискриминант и число корней, теорема Виета, дробно-рациональные уравнения). Критерий: ученик объясняет основание каждой связи и приводит свой пример.

4.4. «Сравни и найди»

УУД: логические (сравнение, аналогия, обобщение). Этап: изучение нового, закрепление. Механизм: ученик по плану (объект, признак, сходство, различие) сравнивает объекты или способы решения и делает вывод; сравнение по аналогии помогает «открыть» правило. Пример 5–6: «Чем похожи и чем различаются прямоугольник и квадрат? Заполните таблицу: стороны, углы, диагонали, периметр, площадь». Пример 7–9: «Сравните свойства линейной y = kx + b и квадратичной y = ax² + bx + c функций: область определения, нули, монотонность, график». Критерий: сравнение по плану завершено выводом.

4.5. «Составь задачу по чертежу / графику / таблице»

УУД: общеучебные (знаково-символические действия, моделирование), постановка и решение проблем. Этап: закрепление, творческое применение. Механизм: ученик «читает» модель и конструирует по ней задачу, решает её и оценивает реалистичность данных. Пример 5–6: «По чертежу встречного движения составьте задачу, решите её, предложите классу свой вопрос к чертежу». Пример 7–9: «По графику пути составьте задачу, определите скорость на каждом участке, объясните, что происходило с объектом». Критерий: задача по модели сформулирована корректно, решение согласуется с моделью.

4.6. «Дополни условие: лишние и недостающие данные»

УУД: логические (анализ), постановка и решение проблем. Этап: актуализация, решение задач, домашнее задание. Механизм: ученик анализирует полноту данных: находит недостающие и предлагает способ дополнения либо обнаруживает лишнее условие и обосновывает его ненужность. Пример 5–6: «Для ответа на вопрос задачи данных не хватает — каких? Дополните условие и решите задачу двумя способами». Пример 7–9: «В задаче на движение указано время прогулки в парке — найдите лишнее условие, удалите его и решите задачу». Критерий: ученик объясняет, какие данные нужны для ответа и почему остальные не используются.

4.7. «Смысловое чтение текстовой задачи»

УУД: общеучебные (смысловое чтение, преобразование информации). Этап: решение текстовых задач. Механизм — алгоритм «читаю — понимаю — перевожу на язык математики — решаю — проверяю»: разговор о понимании (о чём задача, что известно, что найти), затем перевод в краткую запись или модель, решение, проверка реалистичности. Пример 5–6: «Прочитайте задачу про покупки, составьте таблицу “цена — количество — стоимость”, переформулируйте вопрос своими словами, составьте выражение». Пример 7–9: «Прочитайте задачу про движение двух мотоциклистов, составьте уравнение, проверьте, соответствует ли корень смыслу задачи». Критерий: ученик сам переходит от текста к модели и интерпретирует ответ.

4.8. «Классификация»

УУД: логические (классификация, обобщение). Этап: актуализация, обобщение. Механизм: ученик распределяет объекты по группам по заданному или найденному основанию и объясняет выбор; полезно задание «найди другое основание». Пример 5–6: «Разложите числа 2, 9, 15, 17, 21, 23, 27, 31 на группы “простые/составные”, обоснуйте; разбейте их же по-другому (чётные/нечётные)». Пример 7–9: «Классифицируйте функции y = 2x + 1, y = x², y = 3/x, y = −x + 5, y = x³ и опишите их графики». Критерий: каждая группа названа, основание обосновано.

4.9. «Логические цепочки»

УУД: логические (логическая цепь рассуждений). Этап: актуализация, закрепление, разминка. Механизм: ученик продолжает ряд, восстанавливает последовательность или порядок шагов и объясняет закономерность. Пример 5–6: «Продолжите ряд 1, 4, 9, 16, … на три числа и объясните закономерность»; «восстановите порядок шагов решения уравнения из перемешанных карточек». Пример 7–9: «Продолжите последовательность 2, 6, 12, 20, … и задайте её формулой n-го члена»; «восстановите шаги построения графика квадратичной функции». Критерий: сформулировано правило, а не только названы следующие члены.

4.10. «Опорный конспект / схема»

УУД: общеучебные (моделирование, структурирование), логические (синтез). Этап: изучение нового, повторение, подготовка к контрольной. Механизм: ученик сжимает материал до схемы с ключевыми словами, формулами и связями, затем восстанавливает по ней полное объяснение. Пример 5–6: опорный конспект «Проценты» — три вида задач (проценты от числа, число по его процентам, процентное отношение) с формулами-образцами. Пример 7–9: опорный конспект «Формулы сокращённого умножения» — квадрат суммы и разности, разность квадратов, суммы и разности кубов с геометрической иллюстрацией. Критерий: по конспекту другой ученик восстанавливает объяснение темы.

4.11. «Создай гипотезу и проверь»

УУД: логические (выдвижение и обоснование гипотез), постановка и решение проблем. Этап: изучение нового, исследовательские задания. Механизм: на основе 2–3 примеров ученик формулирует предположение («если…, то…»), проверяет его на других примерах, ищет контрпример, делает вывод. Пример 5–6: «Сравните суммы 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7 с квадратами чисел. Какую гипотезу можно выдвинуть? Проверьте её на следующей сумме». Пример 7–9: «Возведите в квадрат (a+b)², (x+3)². Выдвиньте гипотезу о квадрате суммы и докажите её»; «всегда ли произведение двух последовательных натуральных чисел делится на 2?» Критерий: сформулирована гипотеза и приведена проверка (примеры, доказательство или контрпример).

4.12. «Отсроченная отгадка»

УУД: постановка и решение проблем (формулирование проблемы), общеучебные (удержание познавательной цели). Этап: мотивация и целеполагание; ответ «созревает» к концу урока. Механизм: в начале урока задаётся загадка-проблема, в течение урока накапливаются знания для её разгадки. Пример 5–6: «Почему сумма цифр любого числа, умноженного на 9, делится на 9?» — разгадка при изучении признака делимости на 9. Пример 7–9: «Почему центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на гипотенузе?» — ответ ищется при изучении вписанного угла; «почему x² = −4 не имеет корней среди действительных чисел?» — возвращение при изучении множеств чисел. Критерий: ученик сам возвращается к загадке и объясняет её новым знанием.

Раздел 5. Практическая работа участников

Организация: три группы по 4–6 человек по предметным интересам; каждой выдаются памятка, рабочий лист, лист А3 и маркеры. Время работы — 8 минут, представление — по 1 минуте. Роль ведущего — консультант.

Группа	Задание	Ожидаемый продукт
1. 5–6 классы (дроби, проценты, текстовые задачи)	Выбрать 2 приёма из памятки и составить задания (например: «Лови ошибку» — решение с ошибкой в порядке действий; «Составь задачу по чертежу» — чертёж движения)	Два задания: формулировка для ученика, формируемое УУД, этап урока, критерий результата
2. 7–9 классы, алгебра (преобразования, уравнения, функции)	Выбрать 2 приёма и составить задания (например: «Создай гипотезу и проверь» — квадрат суммы; «Классификация» — виды уравнений)	Два задания: формулировка для ученика, формируемое УУД, этап урока, критерий результата
3. 7–9 классы, геометрия (фигуры, чертежи, доказательства)	Выбрать 2 приёма и составить задания (например: «Сравни и найди» — виды треугольников; «Составь задачу по чертежу» — задача по готовому чертежу)	Два задания: формулировка для ученика, формируемое УУД, этап урока, критерий результата

 

Форма представления: заполненный рабочий лист (приём — задание — формируемое УУД — этап урока — критерий) и 1-минутная презентация группы. Критерии оценивания (по 1 баллу, максимум 4): соответствие приёма и задания разделу; УУД сформулировано как действие ученика; определены продукт и критерий результата; задание готово к применению. Оценки не ранжируются: обсуждение строится на сильных сторонах работ. Ожидаемый результат: каждая группа уносит два готовых задания, общая копилка из шести заданий фиксируется на доске.

Раздел 6. Методические рекомендации по внедрению

Встраивание в систему уроков. Закрепите 2–3 приёма за этапами урока: «Лови ошибку» — актуализация и рефлексия; «Верю — не верю» — целеполагание; «Кластер» — обобщение темы; «Составь задачу по чертежу/графику» — творческое применение. В тематическом планировании ведите матрицу «тема — приём — УУД — критерий» (10 минут на четверть). Усложняйте задания: в 5–6 классах — работа по образцу и с опорой, в 7–9 классах — самостоятельное конструирование заданий самими учениками.

Фиксация результата. Диагностика на трёх источниках: 1) наблюдение по карте (ученик выделяет данные / строит модель / объясняет решение / приводит контрпример — да/нет с примером); 2) рабочие листы и продукты деятельности (краткая запись, схема, кластер, конспект, составленная задача) по критериям «полнота модели», «обоснованность вывода»; 3) анализ письменных работ: доля задач, решённых с самостоятельным построением модели, количество обоснованных отказов от неверного способа. Достаточно 2–3 проверок в четверть с сравнением «было — стало».

Типичная ошибка	Как избежать
Приём ради приёма: занимательно, но неясно, какое УУД формируется	Перед уроком письменно отвечать: «какое действие ученика формирует задание?»; формулировать УУД глаголом действия
Отсутствие критериев: результат не виден	Задавать к каждому заданию «продукт» (запись, схема, высказывание) и критерий его оценки, показывать образец
Отсутствие системности	Матрица «тема — приём — УУД» в планировании; 2–3 приёма, закреплённые за этапами урока
Одинаковые задания для 5 и 9 классов	Уровневая лестница: в 5–6 классах опоры и образцы, в 7–9 — самостоятельное конструирование
Оценка «по активности», а не по действию	Фиксировать, какое действие выполнил ученик и какой продукт предъявил

 

Раздел 7. Список литературы и источников

– Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 31.05.2021 № 287).

– Федеральная рабочая программа основного общего образования. Математика (базовый уровень) / ФГБНУ «Институт стратегии развития образования РАО». — М., 2023. URL: https://edsoo.ru

– Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий / А.Г. Асмолов, Г.В. Бурменская, И.А. Володарская и др.; под ред. А.Г. Асмолова. — М.: Просвещение.

– Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе: от действия к мысли / под ред. А.Г. Асмолова. — М.: Просвещение.

– Оценка достижения планируемых результатов в основной школе / под ред. Г.С. Ковалёвой, О.Б. Логиновой. — М.: Просвещение.

– Муштавинская И.В. Технология развития критического мышления на уроке и в системе подготовки учителя. — СПб.: КАРО.

– Заир-Бек С.И., Муштавинская И.В. Развитие критического мышления на уроке. — М.: Просвещение.

– Мельникова Е.Л. Проблемный урок, или Как открывать знания с учениками. — М.

– Гельфман Э.Г., Холодная М.А. и др. Математика: учебники для 5–6 классов (МПИ-проект). — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний.

– Крылова О.Н., Муштавинская И.В. Новая дидактика современного урока в условиях введения ФГОС ООО. — СПб.: КАРО.

– Фундаментальное ядро содержания общего образования / под ред. В.В. Козлова, А.М. Кондакова. — М.: Просвещение.

– Единое содержание общего образования: федеральные рабочие программы. URL: https://edsoo.ru; портал «Урок РФ»: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai; журнал «Математика в школе».