Разработка занятий по теме «Делимость чисел» для математического кружка

Автор: Карина Салауатовна Каримова

Организация: МКОУ- Новопичуговская СОШ

Населенный пункт: Новосибирская область, Ордынский р-н, с. Новопичугово

Пояснительная записка

Занятия по теме «Делимость чисел» разработаны для математического кружка «Математика вокруг нас».

Программа кружка рассчитана на занятия с детьми 7-8 класса, содержит по большей части традиционные темы занимательной математики различных уровней сложности. Реализации рассматриваемой темы во внеклассных занятиях предшествует изучение ее в рамках реализации рабочей программы по математике, составленной на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования на базовом уровне.

В содержание занятий включены олимпиадные, логические и нестандартные задачи, исторический и геометрический материалы. В соответствии с выбранной темой работы, занятия разработаны по теме «Делимость чисел».

Уровень сложности подобранных заданий позволяет привлечь значительное число учащихся, а не только наиболее сильных. Для тех школьников, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятия могут положить начало в развитии их интереса к предмету и вызвать желание увлечься математикой. Кроме того, хотя эти вопросы и выходят за рамки обязательного содержания, они, безусловно, будут способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических умений, предусмотренных программой.

Общая цель разработанных внеклассных занятий – сформировать интерес детей к математике и отдельным темам в ее рамках, способствовать развитию творческих математических способностей, смекалки, логического мышления.

Развивающие цели:развивать логическое мышление, память, внимание, доказательную речь, познавательную активность, повышать уровень притязаний.

Образовательные цели:закрепить признаки делимости чисел при решении задач.

Воспитательные цели: воспитывать ответственность, умение работать самостоятельно и в коллективе, развивать математическую культуру, укреплять понимание ценности математических знаний в практической жизни.

Задачи проведения внеклассных занятий:

1. Обеспечить усвоение математических знаний и умений по теме «Делимость чисел».
2. Развить математическоемышление.
3. Воспитать настойчивость, инициативу.
4. Развивать коммуникативные навыки путем включения школьников в различные виды внешкольной деятельности.

Принципы, которым необходимо следовать при реализации занятий:

• занимательность (включение в программу игровых заданий);
• добровольность (приобщение к деятельности в кружке с учётом возможностей, склонностей и интересов учащихся);
• научность (раскрытие существенных связей и зависимостей в рассматриваемом материале, установление закономерностей, умение делать выводы, включение в исследовательско-поисковую работу);
• доступность (подбор заданий с учётом возрастных особенностей учащихся);
• практичность (использование учащимися полученных знаний и умений, усвоенной математической терминологии в дальнейшей работе на уроках, математических конкурсах и олимпиадах);
• дифференцированность (предоставление разноуровневых заданий).

В основе кружковой работы лежит принцип добровольности. Кружок организован для всех желающих, в течение года кружковые занятия увязаны с другими формами внеклассной работы по математике, в подготовке которых активное участие принимают члены кружка.Занятия кружка проводятся 1 раз в неделю, продолжительность занятия – 40 минут (34 часа в течение учебного года).При построении учебной деятельности, основной формой проведения кружковых занятий является комбинированное тематическое занятие.

Примерная структура организации занятий включает этапы:

1. Объяснение учителя или доклад учащегося по теме занятия.
2. Самостоятельное решение задач по теме занятия, в т.ч. задач повышенной трудности. После решения каждой задачи всеми или большинством учащихся один из учащихся производит ее разбор. Учитель по ходу решения задач формулирует выводы, делает обобщения.
3. Решение задач занимательного характера.
4. Подведение итогов занятия (ответы на вопросы учащихся, следующей встречи, домашнее задание).
5. При закреплении материала, совершенствовании знаний, умений и навыков целесообразно практиковать самостоятельную работу школьников. На занятиях кружка можно использовать различные современные образовательные технологии и сочетать все режимы работы: индивидуальный, парный, групповой, коллективный.

Содержание занятий

На проработку темы «Делимость чисел» в рамках кружковых занятий отведено три учебных часа – два часа практических занятий и один час – на занятие, посвященное изучению новой темы, выходящей за рамки школьной учебной программы.

Занятие 1

Тема занятия «Делимости чисел. Закрепление навыков делимости с помощью признаков делимости»

Задачи занятия:

Образовательные: способствовать актуализации и закреплению знаний по теме занятия, по применению признаков делимости, формирование понятия признака делимости.

Развивающие: развивать навык устного счета, мобильность и творческую самостоятельность, соединяя игровую и обучающую формы деятельности, развитие мыслительных действий: анализ, сравнение, обобщение, классификация, развитие внимания, зрительной памяти, логического и образного мышления, активности учащихся на уроке, развитие интереса учащихся к изучению математики через инновационные технологии.

Воспитательные: привитие интереса к предмету, воспитание у учащихся чувства товарищества, культуры общения, чувства взаимовыручки, способствовать развитию устойчивого интереса к математике через обучение с применением информационных технологий.

Ход занятия:

1.Организационный момент. Озвучивание темы.

2.Актуализация знаний: Определение и свойства делимости представлены в форме электронной таблице, воспроизведённой на классной доске.

3.Устная работа: Направлена на повторение признаков делимости, изучаемых в школьном курсе математики.

4.Работе по теме занятия осуществляется в групповой форме. Для этого присутствующие дети делятся на две группы, каждая группа получает по шесть задач. Выполнять задачи в группе дети могут совместно, индивидуально, либо поделив между участниками одной группы. В конце занятия каждая группа должна представить решение своих задач. В случае возникновения затруднений, учащиеся могут обращаться за помощью к педагогу.

5.Итоги занятия, обсуждение результатов.

Задачи для занятия

Задача 1.

Выделить числа, которые делятся на 10, используя признак делимости:

25, 1010, 2825, 604580, 100214, 96580 [29].

Ответ:

Числа 1010, 604580и 96580 делятся на 10, поскольку оканчиваются на 0.

Задача 2.

Делятся ли числа 872 и 870 на 2 (дать ответ, используя признак делимости)?

Ответ:

872 делится на 2, поскольку 872=870+2.

870 делится на 10, которое делится на 2, а число 2 делится на себя.

Такое доказательство можно провести в общем виде, так как все разрядные единицы, кроме последних, кратны 10[29].

Задача 3.

Кратно ли число 15324 четырем(дать ответ, используя признак делимости)?

Ответ:

15324 кратно 4, поскольку 24 кратно 4.

Если отдельно рассмотреть две последний цифры, то всё остальное число – это какое-то количество сотен. Поскольку сотня делится на четыре, то всё оставшееся делится на 4 и остаётся только рассмотреть делимость на 4 числа, образованного двумя последними цифрами.

Задача 4.

Кратно ли число 2085 трем (дать ответ, используя признак делимости)?

Ответ:

2085 кратно 3, поскольку 2016 = 2∙1000+8∙10+5 = 2∙(999+1)+8∙(9+1)+5 =

= 2∙999+2+8∙9+8+5 = 2∙999+8∙9+2+8+5.

Задача 5.

Определить, используя признак делимости, делятся ли числа 163548 и 8537 на 4? [32]

Ответ:

Число 163548 делится на 4, так как число 48 делится на 4, а число 8537 не делится на 4, так как 37 не делится на 4.

Задача 6.

Если натуральное – число чётное, каким является число ?

Решение:

Число будет делиться на будет четным. При сложении двух четных чисел получим четное число. Прибавив к четному числу единицу получим нечетное число.

Ответ: нечётное.

Задача 7.

Записано пятизначное число, делящееся на 9. Кто-то поменял порядок расположения этихцифр. Доказать, что получившееся число делится на 9.

Доказательство:

По признаку делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 9. Из условия задачи мы знаем, что первое число делится на сумма цифр этого числа делится на 9. Мы знаем, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, сумма цифр нового числа тоже будет делится на 9 получившееся число делится на 9 [7].

Задача 8.

Какие из чисел 75432, 2772825, 5402070 делятся на 3? Какие из них делятся на 9?

Решение:

Сума чисел 7+5+4+3+2 = 21 делится на 3, следовательно, число 75432 делится на 3, но не делится на 9.

2+7+7+2+8+2+5=33 делится на 3, то и число 2772825 делится на 3, но не делится на 9.

5+4+0+2+0+7+0=18 делится на 3 ина 9. Следовательно и число 5402070делится на 3 ина 9[12].

Задача 9.

Делится ли число 573252 на 12? [12]

Решение:

Так как число 12 можно представить в виде 12 = 3∙4, то данное число будет делиться на 12 только в том случае, если оно делится и на 3 и на 4.

Две последние цифры числа 573252 образуют число 52, которое делится на 4. Поэтому данное число делится на 4.

Сумма цифр числа 573252 оставит: 5+7+3+2+5+2=24. Так как 24 делится на 3, то и 573252 делится на 3.

Соответственно, число 573252 без остатка делится на 12.

Задача 10.

Необходимо найти решение задачи 9, по-иному представив число 12.

Решение:

Число 12 можно представить как 12 = 2∙6.

При этом 6 = 2∙3.

Так как последняя цифра числа 573252 четная, то число 573252 делится на 2.

Сумма цифр числа 573252 оставит: 5+7+3+2+5+2=24. Так как 24 делится на 3, то и 573252 делится на 3.

Соответственно, число 573252 без остатка делится на 12.

Задача 11.

Делится ли число 573252 на 18? [12]

Решение:

Так как число 18 можно представить в виде 18 = 2∙9, то данное число будет делиться на 18 только в том случае, если оно делится и на 2 и на 9.

Так как последняя цифра числа 573252 четная, то число 573252 делится на 2.

Сумма цифр числа 573252 оставит: 5+7+3+2+5+2=24. Так как 24 не делится без остатка на 9, то и 573252 не делится на 9.

Соответственно, число 573252 без остатка не делится на 18.

Задача 12.

Делится ли число 32561698 на 12? Решите эту задачу:

а) с помощью признака делимости на 4;

б) с помощью признака делимости на 3 [10].

Решение.

а) Число оканчивается на 98, а 98 не делится на 4. Поэтому по признаку делимости на 4 число на делится на 4. Но любое число, делящееся на 12, должно делиться и на 4.

б) Сумма цифр числа равна 40, а 40 не делится на 3. Поэтому по признаку делимости на 3 число на делится на 3. Но любое число, делящееся на 12, должно делиться и на 3.

Занятие 2.

Тема занятия «Решение задач на делимость»

Задачи занятия:

Обучающие: систематизировать знания и умения учащихся, связанные с делимостью чисел. Формирование математических знаний, умений и навыков решения задач по теме.

Развивающие: развитие умения анализировать и делать выводы, развитие логического мышления, “гибкости ума”, умения к обобщению и систематизации, развитие навыков исследовательской работы.

Воспитательные: воспитание познавательного интереса к предмету посредством решения олимпиадных задач, способствовать повышению интереса к математике, стимулировать ответственное отношение к учебной работе, развивать такие черты характера как аккуратность, усидчивость.

Ход занятия:

1.Организационный момент. Озвучивание темы.

2.Актуализация знаний: Педагог задает вопросы и задачи учащимся по пройденному материалу, учащиеся отвечают на вопросы.

3.Работа по теме занятия: учащиеся решают задачи на местах – один, объясняя ход решения, анализируют правильность решения, делают выводы. Работа в тетради. Дублирование на экране с помощью проектора с ПК.

4.Итоги занятия, обсуждение результатов.

Задача 13.

Может ли натуральное число, записываемое с помощью 10 нулей, 10 единиц и 10 двоек, быть квадратом некоторого другого натурального числа?

Решение

Сумма цифр числа, составленного из таких цифр, равна 10 · 0 + 10 · 1 + 10 · 2 = 30. Значит, в силу признаков делимости это число делится на 3, но не делится на 9.

Предположим, что искомое число m является квадратом числа , то есть . Если m кратно 3, то и кратно 3, а тогда должно быть кратно 9.

Задача 14.

Может ли произведение числа и суммы его цифр равняться 4704? [12]

Решение:

Если число делится на 3, то в силу признака делимости и его сумма цифр делится на 3. Тогда произведение числа и суммы его цифр делится на 9. Если же число не делится на 3, то и сумма его цифр не делится на 3, значит, и произведение числа и суммы его цифр не делится на 3.

Таким образом, произведение числа на сумму его цифр либо делится на 9, либо не делится на 3. А число 4704 делится на 3, но не делится на 9.

Задача 15.

Докажите, что из любых семи различных цифр можно составить число, которое делится на четыре.

Решение:

Достаточно доказать, что среди любых 7 различных цифр найдутся две, из которых можно составить число, кратное 4. Тогда это число можно будет поставить в конец числа, а остальные цифры расставить в произвольном порядке перед ними. Полученное число будет делиться на 4 в силу признака делимости на 4.

Среди 7 различных цифр обязательно найдутся по крайней мере две чётных (иначе среди них было бы по крайней мере 6 нечётных цифр, а нечётных цифр всего 5). Числа, кратные 4, можно составить из «хороших» пар чётных цифр (0, 2), (0, 4), (0, 6), (0, 8), (2, 4), (2, 8), (4, 6), (4, 8) и (6, 8). Остаётся ещё «плохая» пара (2, 6). Если других чётных цифр в наборе нет, то в нём должны содержаться все нечётные цифры (в том числе 1). Тогда, используя имеющиеся в наборе в этом случае цифры 1 и 6, можно составить число 16, кратное 4. Если же в наборе есть другие чётные цифры, то есть по крайней мере одна из «хороших» пар чётных цифр, а этот случай рассмотрен выше.

Занятие 3

Тип занятие: урок актуализации ранее изученных тем и изучения нового материала.

Цель – повторить изученные ранее темы Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, познакомить с алгоритмом Евклида.

Задачи обучения – повторить понятия Наибольший общий делитель и Наименьшее общее кратное, правило их нахождения. Познакомить с алгоритмом Евклида. Закрепить алгоритм Евклида решением соответствующих заданий.

Задачи развития – развитие логического мышления, внимания, памяти речи, умения самостоятельно открывать новые знания, математической любознательности, познавательного интереса к предмету.

Задачи воспитания – воспитывать культуру математического мышления, взаимопомощь, выполнять самопроверку и анализировать свои ошибки.

Оборудование: доска, компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация.

Ход занятия.

1.Знакомство с темой и целями.

2.Изучение новой темы.

- Объяснение теории. Алгоритм Евклида – алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя пары чисел.

Нахождение наибольшего общего делителя пары чисел может стать весьма сложной задачей. Для упрощения решения подобных примеров существует алгоритм Евклида.

Пусть и – натуральные числа, не равные одновременно нулю, и верна последовательность чисел (4) [21]:

 

, (4)

 

где каждое – это остаток от деления числа, предшествовавшего предыдущему числу, на предыдущее число:

или ;

или ;

или ;

…

или .

 

То есть после первых двух шагов мы получаем последовательность остатков, делящихся друг на друга. При этом предпоследнее число делится на последнее нацело.

, равен , то есть последнему ненулевому члену этой последовательности.

- Совместное прорешивание задач по теме с пояснениями педагога.

Задание 1.

НОД каких пар чисел получился 6?

Что вы заметили? Как получили 30?

Как получили 12?

Т.е. . При . При

Кто может продолжить это правило?

На этом правиле и основан Алгоритм Евклида. Учитель знакомит с алгоритмом Евклида как метод «Взаимное вычитание»

Ответ учащихся:

.

30=48-18

12=30-18

.

Учащиеся закрепляют алгоритм решением примера:

..

Задание2

Найдем .

Обсуждается решение:

Здесь мы 3 раза вычитали число84 и три раза число 21.

Как, не производя вычитаний, узнать, сколько вычитаний будет в одной серии, и какая разность получится в итоге? Какие случаи нужно рассмотреть?

Рассматривают правило.

Найти .

С помощью деления большего числа на меньшее. Показывает запись решения в виде таблицы.

Уч-ся решают пример:

Учащиеся делают вывод что вычитание можно заменить делением большего числа на меньшее.

Заполняют пропуски в правиле.

Задание3

1) С помощью алгоритма Евклида найти чисел:

А) 703, 481,

Б) 2112 и 1680;

В) 5075 и 1450.

Учащие решают примеры.

А) 703, 481,

Б) 2112 и 1680;

В) 5075 и 1450

.

3. Подведение итогов занятия.

Уч-ся воспроизводят правило нахождения по алгоритму Евклида.

С помощью деления, большее число делят на меньшее, затем меньшее на первый остаток, затем первый остаток на второй остаток и т.д., до тех пор пока не получат 0. Последний отличный от нуля остаток и есть чисел.

Ожидаемые результаты освоения темы «Делимость чисел».

В рамках занятий учащиеся должны научиться:

• находить наиболее рациональные способы решения задач;
• оценивать логическую правильность рассуждений;
• уметь составлять тематические задачи;
• применять некоторые приёмы быстрых устных вычислений при решении задач;
• применять полученные знания, умения и навыки на уроках математики, математических конкурсах и олимпиадах.

1. file0.docx.. 26,8 КБ

Опубликовано: 30.09.2020