Она восхищает нас, как цветок лотоса»

Аристотель

1. Введение

 

Тема моей работы «Математические развлечения». В качестве эпиграфа к ней я взяла высказывание древнегреческого учёного Аристотеля, с которым полностью согласна. Многие люди тоже любят математику и с удовольствием решают примеры и задачи. Но большинство моих учеников, к сожалению, придерживается другого мнения по этому вопросу. Я провела в 8 классе опрос общественного мнения и задала своим ученикам следующие вопросы:

1. Какие школьные предметы тебе нравятся больше всего?
2. Какие предметы пригодятся тебе в будущем?
3. Какие математические развлечения ты знаешь?
4. В какие математические игры играют в твоей семье?

Результаты опроса представлены на диаграммах. (см. Приложение). Таким образом, можно сделать следующие выводы: 1. Восьмиклассники не считают математику любимым предметом, но многие понимают, что она пригодится в будущем. 2. Они имеют смутное представление о математических развлечениях. Анализируя ответы, я пришла к выводу, что информация о математических развлечениях может быть нужна моим ученикам и будет способствовать формированию интереса к математике.

Большинство восьмиклассников интересуют только компьютерные игры. Вследствие этого они мало внимания уделяют своему развитию и не могут качественно спланировать свободное время. Математические развлечения — это и решение занимательных задач, и геометрические построения, и разгадывание числовых и механических головоломок, и математические игры и фокусы. Они развивают математические способности, сообразительность, логическое мышление, укрепляют память. Математические развлечения объединяют учение и игру, труд и отдых, но для занятия ими нужны и воля, и упорство, и настойчивость в достижении цели.

1. История появления математических развлечений

 

Некоторые математические игры появились еще в древности. Задачи-головоломки известны с давних времен, они встречаются уже в египетских папирусах. С I в. н. э. известна задача, получившая название задачи Иосифа Флавия, римского историка. Он выжил и стал известным благодаря математической одарённости. Легенда рассказывает, что однажды отряд воинов, среди которых находились Флавий и его друг, был окружен. Предпочитая самоубийство плену, воины решили выстроиться в круг и последовательно убивать каждого третьего до тех пор, пока не останется в живых ни одного человека. Однако Иосиф счёл подобный конец бессмысленным. Он быстро вычислил спасительные места в порочном круге, на которые поставил себя и своего товарища. На какие места в круге они встали, если в отряде был 41 воин? Древняя рукопись сообщает: на 16е и 31е.

Игра «крестики-нолики» - одна из древнейших, её знают все. В квадрате, разделенном на девять клеток, игроки по очереди ставят в свободную клетку свой знак: крестик или нолик, стараясь выстроить три крестика или три нолика подряд. Тот, кто первым сделает это, выигрывает. Если не делать ошибок, то игра оканчивается вничью, выиграть можно только в том случае, если противник ошибется. Самый правильный первый ход — занять угловую клетку. И если партнер не ответит на это своим знаком в центре, то он проиграл.

Издавна играют в игру «Ним». Пусть имеется одна или несколько групп предметов. Играющие по очереди берут предметы из групп по правилам, которые заранее устанавливают: какое количество предметов разрешается брать за один раз и из скольких групп. Существует множество вариантов игры, и для большинства известна наилучшая стратегия, ведущая к выигрышу. Наличие самих предметов не обязательно, можно играть и с числами.

Двое называют по очереди любое число от 1 до 10 и складывают названные числа. Выигрывает тот, кто первым доведет до 100 сумму чисел, названных обоими игроками. Оптимальная стратегия в этой игре состоит в том, чтобы после хода противника называть числа, дающие, в сумме с предыдущими, члены следующего ряда: 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89,100.

С древности до наших дней очень популярны головоломки-шутки, они учат внимательно относиться к каждому слову условия задачи. Вот одна из них: в кармане лежат две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

Задача основана на психологической особенности человеческого восприятия — запоминать главные факты из условия задачи. В данном случае — то, что монета в кармане не пятак. И начинаются безуспешные попытки решения. А правильный ответ: 10 коп. и 5 коп., так как в условии задачи сказано, что только одна монета не пятак.

В старинной задаче «Волк, козел и капуста» крестьянину нужно перевезти через реку волка, козла и капусту. Лодка так мала, что в ней кроме крестьянина может поместиться или только волк, или только козел, или только капуста. Но если оставить волка с козлом, то волк его съест, а если оставить козла с капустой, то будет съедена капуста. Как быть крестьянину?

Головоломки типа этой задачи называются комбинаторными. В таких головоломках требуется путем взаимной перестановки элементов расположить их в соответствии с условием задачи в определенном порядке.

В случае с крестьянином переправу нужно начать с перевозки козла. Затем крестьянин возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег и там оставляет, но везет обратно на первый берег козла. Здесь он оставляет его и перевозит к волку капусту. А затем, возвращаясь, перевозит козла.

1. Виды математических развлечений

1. Арифметические ребусы, в которых нужно восстановить недостающие цифры.

Число палиндром

Умножив два числа, получаем число, обратное первому множителю. Что это за числа?

• 1089*9=9801
• ЛЕТО+ЛЕТО=ПОЛЕТ Ответ. 8947+8947=17894

 

1. Математические ребусы

Вершина

Диаметр

1. Задачи со спичками.

Переставьте три спички так, чтобы рыбка поплыла в обратном направлении. Другими словами, нужно повернуть рыбу на 180 градусов по горизонтали.

Для решения задачи будем передвигать спички, которые составляют нижнюю часть хвоста и туловища, а также нижний плавник нашей рыбы. Переместим 2 спички наверх, а одну вправо, как показано на схеме. Теперь рыбка плывет не вправо, а влево.

 

1. Топологические головоломки тоже одни из самых древних. К ним относятся лабиринты, проволочные, шнурковые и объемные сборно-разборные головоломки.
2. Математические фокусы. Удивительной для непосвященных кажется способность человека отгадывать задуманное другим число. Но если вы узнаете секреты математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать новые.

Вы просите товарища задумать любое число, затем отнять от него 1, результат умножить на 2, из произведения вычесть задуманное число и сообщить вам результат. Прибавив к нему число 2, вы отгадаете задуманное. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения (x−1)⋅2−x, где x — задуманное число. Раскрыв скобки и выполнив действия, мы получим, что это выражение равно x−2.

Можно угадать результат арифметических действий над неизвестным числом, например, так. Ваш товарищ задумал число. Вы просите умножить его на 2, затем прибавить к произведению 12, сумму разделить пополам и вычесть из нее задуманное число. Какое бы число ни было задумано, результат всегда будет равен 6, так как (2x+12) / 2−x=6 при любом x.

1. Логические задачи-головоломки.

Вот пример решения такой задачи.

Три мальчика, устав от игр, прилегли отдохнуть под деревом и уснули. Пока они спали, их товарищи испачкали им сажей лбы. Проснувшись и взглянув друг на друга, мальчики начали смеяться. Внезапно один из них замолчал, так как понял, что его лоб тоже испачкан. Он подумал: «Мы смеемся, потому что каждый из нас считает, что его лицо чистое. Но если мое лицо чистое, то Коле должен быть непонятен смех Андрея. Раз Андрей смеется, а мое лицо чистое, то он смеется над Колей. Коля должен это понять и перестать смеяться. А раз он не перестает, значит, мой лоб тоже в саже».

7. Математические головоломки.

1. Определить номер места для парковки, которое заняла машина.

Эта задача предлагается первоклассникам в китайской школе. Ответить нужно за 20 секунд.

1. Два мальчика встретились в вагоне поезда:

— Я всегда еду в 5 вагоне с хвоста поезда – сказал Иван.

— А, я – в 5 от головы – ответил Игорь. Сколько вагонов в поезде?

1. Сколько кошек?

В комнате четыре угла. В каждом углу сидит по кошке. Напротив каждой кошки по три кошки. На хвосте каждой кошки по одной кошке. Сколько же кошек в комнате?

(В комнате всего четыре кошки)

1. Сколько их?

Ваня имеет столько же братьев, сколько и сестёр, а у его сестры вдвое меньше сестёр, чем братьев. Сколько сестёр и сколько братьев в той семье?

(3 сестры и 4 брата)

1. Делёж верблюдов

Старик, имевший трёх сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежавшее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний - треть и младший - девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали делёж, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, братья обратились к мудрецу. Тот приехал к ним на собственном верблюде и разделил по завещанию. Как он это сделал?

(Мудрец пустился на уловку. Он прибавил к стаду на время своего верблюда, тогда их стало 18. Разделив это число, как сказано в завещании (старший брат получил 18 х 1/2 = 9 верблюдов, средний 18 х 1/3 = 6 верблюдов, младший 18 х 1/9 = 2 верблюда), мудрец взял своего верблюда обратно (9 + 6 + 2 + 1 = 18). Секрет заключается в том, что части, на которые по завещанию должны были делить стадо сыновья, в сумме не составляют 1. Действительно, 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18)

1. Вьючные животные

Мул и ишак, груженные мешками, идут рядом. Мул говорит ишаку: "Я потащу вдвое больше тебя, если возьму у тебя мешок. А если ты возьмёшь мой мешок, то мы оба понесём поровну".

Сколько мешков несёт каждое животное?

(Мул несёт 7 мешков, ишак только 5)

 

1. Математические кроссворды
2. Задачи с числами

Применяя все четыре арифметических действия и скобки, напишите четырьмя тройками порядковые числа от 1 до 10.

Ответ. Некоторые числа можно записать разными способами. Вот несколько примеров:

33 ÷ 33 = 1, 3 ÷ 3 + 3 ÷ 3 = 2, (3 + 3 + 3) ÷ 3 = 3, 3 + (3 + 3) ÷ 3 = 5, 3 + 3 − 3 ÷ 3 = 6,

3 + 3 + 3 − 3 = 6, 3 × 3 × 3 ÷ 3 = 9.

 

1. Математика на шахматной доске

Шахматы не только популярная игра, но и источник множества интересных математических задач. Например, обойти конем все поля доски, посетив каждое из них по одному разу. Этой задачей занимались многие математики XVIII и XIX вв., в том числе и Л. Эйлер. Хотя задача была известна и до Эйлера, лишь он впервые обратил внимание на ее математическую сущность. Придумано много методов построения маршрутов коня, установлены различные математические закономерности. Задачи о маршрутах составлены и для других фигур.

4. Заключение

Математика является одной из самых теоретических наук, изучаемых в школе, именно этим определяется ее исключительная роль в развитии логического мышления. Одной из возможностей развития логического мышления, по моему мнению, являются математические развлечения. Во время математической игры происходит одновременно игровая, учебная и трудовая деятельность. В играх ученики учатся планировать свою работу, оценивать результаты не только чужой, но и своей деятельности, проявлять смекалку при решении задач, творчески подходить к любому заданию, использовать и подбирать нужный материал. Математические развлечения помогают в самосовершенствовании учащихся и, тем самым побуждают их познавательную активность, повышается интерес к предмету.

Использовать игры можно на классных часах, при проведении недели математики, на занятиях кружков и во внеурочной деятельности. Я провожу чемпионаты по игре в «Крестики-нолики», практические занятия по разгадыванию ребусов, кроссвордов, задачам с числами и со спичками. Также я реализую эту тему в проектной деятельности учащихся.

5. Информационные ресурсы

1. http://sernam.ru/book_e_math.php?id=76
2. https://school-science.ru/2/7/30497
3. http://ped-kopilka.ru/igry-konkursy-razvlechenija/matematicheskie-golovolomki-dlja-shkolnikov.html

 

Полный текст статьи см. в приложении.