Задачи: повторить понятие арифметической и геометрической прогрессий, повторить формулы нахождения n-го членов арифметической и геометрической прогрессий, формулы нахождения суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий, решать задачи по теме арифметическая и геометрическая прогрессии.

 

Примечания: данное занятие разработано для проведения онлайн-консультации обучающихся с использованием программы ZOOM. Учитель планирует конференцию в ZOOM, рассылает обучающимся приглашения на конференцию. В запланированное время учитель и обучающиеся подключаются к конференции, учитель включает демонстрацию экрана и показывает обучающимся презентацию, комментируя слайды. Обучающиеся записывают решения задач со слайдов.

 

Ход занятия

-Здравствуйте, ребята. Сегодня мы с вами будем учиться решать задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию, которые могут встретиться вам на экзамене по №14. Сначала вспомним определения: ( СЛАЙД 2)

Последовательность чисел a_n , каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d (разностью прогрессии), называется арифметической прогрессией. ( СЛАЙД 3)

Последовательность чисел b_n , первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q (знаменатель прогрессии), называется геометрической прогрессией.

- Вспомним формулы. Обратите внимание на слайд. (СЛАЙД 4)

- Рассмотрим несколько типичных задач, которые могут встретиться на экзамене под номером 14.

Задача 1. (СЛАЙД 5)

В течение 20 банковских дней акции компании дорожали на одну и ту же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если в 9-й день акция стоила 888 рублей, а в 13-й день – 940 рублей?

- Так как в условии сказано, что акции дорожали на одну и ту же сумму, значит, последовательность чисел, отражающих стоимость акций каждый день, составляют арифметическую прогрессию. Нам нужно найти 20-й член прогрессии. Для начала выразим по формуле n-го члена 9-й и 13-й члены прогрессии, найдем 1-й член и разность прогрессии.

Решение

Арифметическая прогрессия a₉ = 888, a₁₃ = 940, n=20. a₂₀ -?

a_n =a₁ +d(n-1)

a₉ =a₁ +d(9-1) , a₁₃ =a₁ +d(13-1),

a₉ =a₁ +8d , a₁₃ =a₁ +12d,

a₁= a₉ - 8d a₁₃ = a₉ - 8d +12d,

a₁₃ = a₉ +4d,

4d = a₁₃ - a₉ ,

4d =52,

d =52/4,

4. =13. (СЛАЙД 6)

a₁= a₉ - 8d a₁= 888 - 8*13=888-104=784

a₂₀ = a₁ +d(n-1) ,

a₂₀ = 784 +13(20-1)= 1031.

Ответ: 1031 рублей.

Задача 2. (СЛАЙД 7)

При проведении химического опыта реагент равномерно охлаждали на 7,5⁰С в минуту. Найдите температуру реагента ( в градусах Цельсия) спустя 6 минут после начала проведения опыта, если начальная температура составляла -8,7⁰С.

- В условии задачи сказано, что реагент охлаждали на 7,5⁰С в минуту. Значит, последовательность чисел, отражающих температуру реагента каждую минуту, составляют арифметическую прогрессию. Нужно найти 6-й член прогрессии. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Решение

​​​​​​​Арифметическая прогрессия a₁ = - 8,7 , d = -7,5, n=7. a ₇ -?

a_n =a₁ +d(n-1)

a₆= - 8,7 -7,5 (6-1)= - 53,7

Ответ: - 53,7 ⁰С

Задача 3. (СЛАЙД 8)

В амфитеатре 20 рядов. В первом ряду 56 мест, а в каждом следующем – на 2 места меньше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

- В условии задачи сказано, что в каждом следующем ряду на 2 места меньше, чем в предыдущем. Получаем последовательность чисел, каждое из которых показывает, сколько мест в ряду, значит, речь идет об арифметической прогрессии. Нужно найти сумму 20 членов прогрессии. Сначала найдем 20-й член арифметической прогрессии.

Решение.

​​​​​​​Арифметическая прогрессия a₁ = 56 , d = -2, n=20. S₂₀ -?

a_n =a₁ +d(n-1)

a₂₀ =56 -2(20-1) = 18

S_n = (a₁+ a_n)*n/2

S₂₀= (56+18)*20/2=740.

Ответ: 740 мест.

Задача 4. (СЛАЙД 9)

В 11:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 21:00 того же дня часы отставали на двадцать минут. На сколько минут отставали часы спустя 24 часа после того, как сломались?

- В условии сказано, что часы отставали на одно и то же количество минут, значит, дана арифметическая прогрессия. Так как за промежуток времени с 11:00 до 21:00 часы отстали на 20 минут, то можно записать так:

Решение.

​​​​​​​Арифметическая прогрессия, n=24. 24d-?

10d=20,

d=2 24 d= 24*2=48.

Ответ: на 48 минут.

Задача 5. (СЛАЙД 10)

Курс воздушных ванн начинают с 10 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 5 минут. В какой по счету день продолжительность процедуры достигнет 1 часа 5 минут в день.

- В задаче сказано, что время увеличивают каждый день на 5 минут. Значит, речь идет об арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии. Нам нужно найти n.

Решение.

Арифметическая прогрессия. a₁ = 56, d = 5, a_n = 1ч 5 мин=65 мин. n-?

a_n =a₁ +d(n-1),

a_n =a₁ +dn- d ,

dn =a_n -a₁ + d,

n =(a_n -a₁ + d)/d,

n =(65 -10 + 5)/5= 12.

Ответ: в 12 день.

Задача 6. (СЛАЙД 11)

Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 1280?

- В условии задачи сказано, что есть деление на 2 части, значит, последовательность чисел, которые показывают количество инфузорий после каждого деления составляют геометрическую прогрессию. Нужно найти 1-й член прогрессии.

Решение.

Геометрическая прогрессия q=2, b₇=1280, n=7. b₁ -?

b_n = b₁*q^n-1,

b₁ = b_n /q^n-1,

b₁ = 1280 /2^7-1,

b₁ = 1280 /64=20.

Ответ: 20 инфузорий.

Задача 7. (СЛАЙД 12)

Врач прописал больному капли по следующей схеме: в первый день 5 капель, а в каждый следующий день на 5 капель больше, чем в предыдущий, до тех пор, пока дневная доза не достигнет 40 капель. Такую дневную дозу (40 капель) больной ежедневно принимает пять дней, а затем уменьшает прием на 5 капель в день до последнего дня, когда больной принимает последние 10 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить на весь курс, если в каждом пузырьке 10 мл лекарства, то есть 200 капель?

- В данной задаче можно выделить три части. Они выделены цветом на сайде. Можно сначала посчитать количество лекарства, принимаемого больным на каждом этапе лечения, затем сложить полученные числа, и посчитать количество пузырьков, которые нужно купить. При решении будем использовать формулы арифметической прогрессии.

Решение (СЛАЙД 13)

1. Арифметическая прогрессия a₁ = 5 , d = 5, a_n=40 S_п -?

a_n =a₁ +d(n-1),

n =(a_n -a₁ + d)/d,

n =(40 -5 + 5)/5= 8.

S_n = (a₁+ a_n)*n/2,

S₈ = (5+ 40)*8/2= 180

180 капель принял больной на первом этапе лечения.

1. 40*4=160

160 капель принял больной на втором этапе лечения. (СЛАЙД 14)

1. Арифметическая прогрессия a₁ = 35 , d = - 5, a_n=10 S_п -?

a_n =a₁ +d(n-1),

n =(a_n -a₁ + d)/d,

n =(10 -35 - 5)/(-5)= 6

S_n = (a₁+ a_n)*n/2,

S₈ = (35+ 10)*6/2= 135

135 капель принял больной на третьем этапе лечения.

1. 180+160+135=475

475 капель всего

475/200=2,375

Ответ. 3 пузырька

Задача 8. (СЛАЙД 15)

К концу 2009 года в городе проживало 53100 человек. Каждый год число жителей возрастало на одну и ту же величину. В конце 2018 года в городе проживало 60390 человек. Какова была численность населения этого города к концу 2015 года?

- В условии сказано, что число жителей возрастало на одну и ту же величину каждый год. Получаем арифметическую прогрессию

Решение.

Арифметическая прогрессия a₁ = 53100 , a₁₀=60390 a₇ -?

a_n =a₁ +d(n-1),

a₁₀ =a₁ +d(10-1),

60390=53100 +9d,

9d=60390-53100,

9d=7290,

d=810. (СЛАЙД 16)

a₇ =53100 +810(7-1),

a₇ =53100 +810(7-1),

a₇ =57960.

Ответ. 57960 человек.

 

(СЛАЙД 17, 18)

Приложения: