Конспект урока математики на тему: «Построение графиков функций для решения тригонометрических уравнений и неравенств»

Автор: Чибисова Кристина Олеговна

Организация: МБОУ «Гимназия им. академика Н.Г. Басова»

Населенный пункт: Воронежская область, г. Воронеж

Тема урока: «Графический способ решения тригонометрических уравнений и неравенств.»

Класс: 10

Тип урока: комбинированный

Оборудование: домашние ПК (допускаются любые устройства с доступом в интернет), платформа ZOOM.

Цели урока:

- систематизировать, расширить и углубить знания и умения учащихся по теме «Графический способ решения уравнений и неравенств»;

- содействовать развитию наблюдательности, умению анализировать, сравнивать, делать выводы;

- развивать умения учащихся применять полученные знания на практике;

- побуждать учеников к самоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний.

План урока:

1. Организационный момент
2. Разминка (повторение изученного материала)
3. Короткое сообщение ученика «Применение графика функции на практике»
4. Выполнение заданий:

А) Решение уравнения

Физкультминутка для глаз

Б) Решение неравенства

5. Домашнее задание.

 

Ход урока

1. Организационный момент: ссылка на урок-конференцию размещается на платформе Дневник.ру на стене класса. Ученики выполняют подключение к конференции, проверяют оборудование (видео-звук), готовят к уроку письменные принадлежности. Учитель включает демонстрацию экрана.
2. Разминка: На платформе learningapps.com выполнение интерактивного задания на повторение функций и их графиков (рис.1). В задании необходимо сопоставить функцию с её графиком. Упражнение можно попросить выполнить одного из учеников, разрешив ему доступ к управлению экраном, или, что не менее эффективно, произвести повторение с применением приёмов фронтальной работы.

Сообщение ученика на тему «Применение графика функции на практике»: задание подготовить сообщение выдаётся ученику заранее. Желательно, чтобы это был ученик, имеющий некоторые затруднения в данной теме. Сообщение не должно превышать 3-5 минут и может содержать слайды для демонстрации. Демонстрация слайдов может осуществляться на платформе ZOOM функцией «Разрешить демонстрацию экрана», если данная функция скрыта, ученика можно временно сделать организатором конференции и все необходимые функции у него появятся автоматически.

Слово учителя: Одна из целей нашего сегодняшнего урока - изложить графический метод решения уравнений и неравенств, который дает возможность определить корни намного проще, чем при аналитическом способе решения, используя при этом современные и общедоступные средства ИКТ. Это позволяет сэкономить время, при этом получив понятное и точное решение.

Для решения подобного рода задач будем использовать онлайн - сервис, не требующий установки на компьютер «Построение графиков функций онлайн». Попасть в него, мы сможем по ссылке: http://yotx.ru/. (Рис.2)

 

Сервис даёт возможность построить графики функции заданные несколькими способами. При этом, можно выполнить построения нескольких графиков в одной системе координат, используя разные цвета для их выделения. Способы введения функций есть в справке (Рис.3).

 

Рис.3 Часть справки сервиса

Все алгебраические выкладки можно оформлять двумя способами: 1) Подготовить заранее в любом удобном текстовом редакторе 2) Выполнять по ходу комментария решения, используя для этого текстовый редактор или встроенную функцию ZOOM (расположена в нижней части рабочего экрана, кнопка «Комментарии»)

Рассмотрим несколько примеров использования сервиса для решения уравнений.

4.Выполнение заданий

Пример 1

Рассмотрим уравнение sin t + cos t = 1.

Идея решения состоит в том, чтобы дополнить уравнение тождеством sint + cost = 1, ввести обозначения x = cos t, y = sin t и решить графически систему, состоящую из двух уравнений:

 

Рис.4

Следует помнить: графическое решение будет частичным, а чтобы найти полное решение, необходимо учесть периодичность тригонометрических функций.

Так окончательный ответ будет таким:

t₁ = 0^◦­­­ + 2πn, t­₂ = + 2πk где n, k - целые числа.

Сервис даёт возможность распечатать, переслать и скачать получившийся чертёж. Для этого есть специальные значки рядом с графиком (Рис.5)

 

Рис.5 Действия с чертежом

Физкультминутка для глаз:

Закрыть глаза, сильно напрягая глазные мышцы, на счет 1-4, затем раскрыть глаза, расслабив мышцы глаз, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

Посмотреть на переносицу и задержать взор на счет 1-4. До усталости глаза не доводить. Затем открыть глаза, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

Не поворачивая головы, посмотреть направо и зафиксировать взгляд на счет 1-4 затем посмотреть вдаль прямо на счет 1-6. Аналогичным образом проводятся упражнения, но с фиксацией взгляда влево, вверх и вниз. Повторить 3-4 раза.

Перенести взгляд быстро по диагонали: направо вверх - налево вниз, потом прямо вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

 

Пример 2

Решите неравенство:

8cos³ t – 14cos² t + 6cos t – 2sin² t + 8sin t – 3 ≥ 0

Заменим sin² t = 1 – cos² t.

8cos³ t – 14cos² t + 6cos t – 2 + 2cos² t + 8sin t – 3 ≥ 0

8cos³ t – 12cos² t + 6cos t + 8sin t – 5 ≥ 0

Пусть sin t = y, cos t = x

8x³ – 12x² + 6x + 8y – 5 ≥ 0

8y ≥ -8x³ + 12x² – 6x + 5

y ≥ -x³ + x² - x +

y ≥ -(x³ - x² + x - )

y ≥ -((x³ – 3∙x²∙ + 3∙x∙ - ) + - )

y ≥ -((x - )³ - )

Остается решить графически систему, состоящую из неравенства (3) и из уравнения x² + y² = 1.

Рис.6

Выделенная на рис. 10 дуга единичной окружности и является графическим решением этой вспомогательной системы.

Каждая точка этой дуг имеет радиус-вектор, образующий с положительным направлением оси Ox угол, величина которого изменяется в промежутке [26^°; 106^°]. Учитывая периодичность, получаем t [26^°+ 360^°k; 106^°+360^°k], где k Z.

 

Данный метод может быть использован для учащихся, желающих углубить и расширить свои знания в области построения графиков функций и использовании графического метода при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Это и закрепление изученных свойств функций, и прекрасная демонстрация их применения на практике, и подготовка учащихся к итоговым экзаменам.

 

4. Домашнее задание

1. Решить графически уравнение:

-0,5x2-x+2,625=cosπx

2. Решить графически неравенство:

cosx-3x+1≥0

 

Список литературы:

1. А. Мерзляк, «Тригонометрия», М.: «АСТ – ПРЕСС», 1998 г.
2. А.В. Попадюк «Тригонометрические уравнения и неравенства», 1972 г.
3. Приложение 5 к СанПиН 2.4.2.2821-10 – разминка для глаз

Ссылки на интернет - источники:

1. http://yotx.ru/ - Построение графиков функций онлайн
2. Формула и график (learningapps.org) – Сервис с интерактивными заданиями.

1. file0.docx.. 344,1 КБ

Опубликовано: 05.04.2022