Лист Мебиуса

Автор: Галай Ольга Константиновна

Организация: БОУ СОШ № 51

Населенный пункт: г.Омск

Класс: 7.

Тип занятия: лабораторная работа с элементами исследования.

Формы работы: групповая практическая работа, научный эксперимент.

Оборудование:

мультимедиа-проектор, компьютер, таблицы наблюдений экспериментов (Приложение 1); клей, ножницы, фломастеры, листы Мебиуса, различной формы, для каждого опыта.

 

Цели занятия:

1.познакомить учащихся с листом Мебиуса, элементами исследовательской работы;

расширить знания учащихся в области экспериментальной математики.

2.развивать логическое и творческое мышление;

развивать навык самостоятельной работы при проведении исследования;

развивать умения выдвигать гипотезу и сопоставлять ее с полученным результатом;

3.воспитывать целеустремленность в достижении цели;

прививать интерес к математике, математическим опытам.

 

Предварительная подготовка: обучающиеся делятся на 5 групп.

 

ХОД ЗАНЯТИЯ

 

Лист Мебиуса – символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом…

Он полон неосознанной романтики:

В нем бесконечность свернута кольцом.

 

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,

Что недоступна даже мудрецам:

Здесь на глазах преобразилась плоскость

В поверхность без начала и конца.

 

Здесь нет пределов, нет ограничений,

Стремись вперед и открывай миры,

Почувствуй силу новых ощущений,

Прими познанья высшего дары…

 

Иванова Н. Ю.

 

У каждого из нас есть представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Оказывается, что может. И пример тому поверхность, с которой мы сегодня познакомимся - лист Мёбиуса.

Что же такое лист Мебиуса? Как он возник? Давайте проведем экскурс в историю.

 

Данную поверхность открыл Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мебиус (Слайд № 2). Лист Мебиуса относится к числу “математических неожиданностей”. Рассказывают, что открыть свой “лист” Мебиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

Как бы то ни было, но в 1858 году Мебиус (1790-1868), ученик К. Ф. Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

Лист Мебиуса считается одним из символов современной математики, а момент его открытия стал началом рождения новой науки – топологии (по-другому - "геометрия положения"). В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. (Слайд № 3). А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

 

Итак, что же такое лист Мебиуса.

Получается он очень просто: склейте из бумажной полоски кольцо, только перед склеиванием поверните один конец на 180°. Если полоска бумаги достаточно длинная, то такой поворот может произойти и случайно.

(Слайд № 4).

А теперь проведем исследование данной поверхности.

Во все времена человек большинство знаний добывал не путем рассуждений и догадок, а из собственного трудового опыта. Иногда человек специально проводит серию опытов, чтобы доказать, либо опровергнуть некоторую гипотезу – научное предположение. Такая работа называется – эксперимент.

 

Эксперимент 1. У ленты, из которой сделан лист Мёбиуса, две стороны. А сколько сторон у листа Мёбиуса? (Ответы детей)

Мы определились с гипотезой. Теперь проведем опыт.

Возьмите цветной карандаш и начните последовательно закрашивать лист, не отрывая карандаша от его поверхности и не пересекая края листа.

Каков результат эксперимента? (Ответы детей)

Лист Мебиуса – односторонняя поверхность.

Что значит односторонняя? Если на внутреннюю сторону обычного кольца посадить паука, а на наружную - муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь перелезать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи, не так ли? А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук ползает быстрее!

 

Эксперимент 2. Что получится, если обыкновенное (не перекрученное) бумажное колечко разрезать вдоль его средней линии? (Ответы детей)

Очевидно – два кольца, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого колечка.

А что получится если мы разрежем лист Мебиуса вдоль его средней линии.

Лист Мёбиуса превратился в одно перекрученное кольцо, причём оно перекручено дважды и вдвое длиннее, но уже.

 

Эксперимент 3. Сейчас мы поработаем в группах. Каждой группе я раздам задания (Приложение 1). Чтобы было проще проводить исследования листа Мебиуса, для каждой группы задания уже подготовлены. При выполнении задания вы должны обсудить гипотезу, записать ее. Провести эксперимент, который будет состоять из опытов, поставленных каждым членом группы, для большей достоверности результата. Записать результат эксперимента. На основании результата сделать вывод о том подтверждена ваша гипотеза или нет. А затем мы обсудим результаты вашей работы.

 

Лист Мебиуса удивительная поверхность и притягивает к себе внимание не только математиков, но и людей искусства.

Ма́уриц Корне́лис Э́шер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — Лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

(Слайд № 5 гравюра Эшера).

 

Во многих странах мира: России, Германии, Латвии и многих других есть памятники этому необычному объекту. (Слайд № 6 Москва, Комсомольский проспект около кинотеатра “Горизонт”, памятник “Ленте Мёбиуса”). У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса – на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка.

 

Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе А́ртура Чарльза Кларка «Стена Темноты».

В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера.

Благодаря ленте Мебиуса возникло множество самых разнообразных изобретений. Так, например, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с “двух сторон” не меняя их местами. Скольких людей приводили в восторг аттракционы “Американские горки”. Лента Мебиуса вполне благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств.

 

Домашнее задание:

Дома подумайте, какой еще опыт можно провести с листом Мебиуса.

1. file0.doc.. 40,0 КБ
2. file1.doc.. 51,0 КБ

Опубликовано: 26.11.2022