Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

Автор: Валентина Борисовна Моисеева

Организация: ГКОУКО «Калужская школа-интернат №5 им. Ф.А. Рау»

Населенный пункт: Калужская область, г. Калуга

Тема урока

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

Тип урока Урок закрепления знаний

Цели урока:

Обучающие:

-закрепление понятия дробно-рационального уравнения;

-составление математической модели задачи, перевод условия задачи с обычного языка на математический;

-проверка уровня усвоения темы путем проведения проверочной работы.

Развивающие:

-развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

-развитие интеллектуальных умений;

-развитие умения принимать решения.

Воспитательные:

-воспитание познавательного интереса к предмету;

-воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

-воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Задачи:

1) актуализировать знание решения дробных рациональных уравнений, умение решать задачи при помощи рациональных уравнений; добиться усвоения алгоритма решения задач;

2) формировать основы логического и алгоритмического мышления;

развивать умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей; строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения;

3) развивать навыки сотрудничества со сверстниками, воспитывать чувство товарищества.

Формируемые результаты:

Предметные: формирование умений решать текстовые задачи на

движение с помощью рациональных уравнений.

Личностные: формировать интерес к изучению темы и желание

применять приобретённые знания и умения.

Метапредметные: формировать умение использовать приобретённые знания в практической деятельности.

Планируемые результаты: учащийся научится решать текстовые задачи на движение с помощью рациональных уравнений.

Основные понятия: математические модели реальных ситуаций.

Оборудование: презентация, конспект урока, компьютер, проектор.

Технологии:

Технология междисциплинарного обучения

Технология развития критического мышления

Технология развивающего обучения

 

Ход урока:

1. Организационный момент.

Сегодня интегрированный урок, в котором мы соединим знания по физике, алгебре, литературе в одно понятие – урок. Слайд 1______

 

Любая работа будет эффективной, если она спланирована. Перед нами маршрутный лист. Первый пункт какой? Даем старт нашему уроку.

«Математика – царица всех наук» - часть знаменитой фраз принадлежит немецкому ученому 18-19 веков Карлу Гауссу. Но М.И. Ломоносов ее удивительным образом дополнил: « Математика – царица всех наук, но служанка физики».

- Как можно истолковать слова М.И. Ломоносова?

 

Возможный ответ (далее В.О.) - физика занимается исследованием природных процессов и формулирует закон. Но ее развитие было бы невозможным без математического аппарата.

Именно знания в комплексе помогают решать различные жизненные ситуации.

 

2. Постановка формируемых результатов и задач урока.

Определим ключевое слово нашего урока. Слайд 2_____

ВО( возможный ответ): - Задача

С каждым годом задачки становятся сложнее. Вот дошла очередь до задач, решаемых с помощью …….. дополни фразу:

ВО : составления рациональных уравнений.

Попробуем сформулировать цель нашего урока

ВО: увеличить объем своих знаний. Не бояться ошибок, приводя свои способы решения. Научиться решать задач с помощью рациональных уравнений.

 

3. Проверка домашнего задания Слайд_3____________

Второй пункт в маршрутном листе называется как?

На какую тему были задачи из домашнего задания?

 

ВО: задачи решаемые составлением рациональных уравнений по теме «Производительность труда»

 

 

4. Актуализация Слайд_4__________

Третий пункт в нашем маршруте: «Отличный шанс» Слайды 5-16 Предлагаю ответить на вопросы, по типу игры «Кто хочет стать миллионером». Заметь, каждый пункт маршрутного листа имеет определенную оценку. Успешное прохождение этого участка маршрута оценивается 5 баллами.

-Как называется дробь, у которой числитель меньше, чем знаменатель

(правильная, неправильная, десятичная, обычная);

-Сравнить дроби 1х и 1х+4 , при х>0

-Уравнение, левая и правая части которого являются рациональными уравнениями называются ( равносильными, рациональными, дробными, квадратно-рациональными)

-Рациональным уравнением не будет ( х-6х-2 = х-8х;;    -2х+5 = 0;    х2 х = 2;  х2-5х+6=0)

по какой формуле вычисляется время?

t — время; s — расстояние; v — скорость:

t = sv

t = vs

t = s+v

t = sv

 

Подведем итоги первых трех участков маршрута

5. Закрепление изученного материала

Следующий пункт нашего маршрута?????? «Правила решения»

Работает ученица: Открываем РЭШ( «российская электронная школа» класс 8, предмет – алгебра, урок 32 ) Гиперссылка на РЭШ https://resh.edu.ru/subject/lesson/1979/main/основная часть:

Вспомним кратко этапы работы над задачей на производительность труда ( 1 часть видео – просмотр видео)

Прокомментировать порядок решения уравнения по рассмотренной задаче.

 

Переходим к тренировочным упражнениям « Восстановить порядок действий при решении задач» . Оценим себя.

 

Следующий участок маршрута «Гость урока- физика». Слайд17__________

Раскрою секрет: Мы сегодня будем решать задачи на движение с помощью рациональных уравнений». Чем нам может помочь физика – первый гость на уроке алгебры?

В: задачи на движение обычно содержат величины:

t- время,

v-скорость,

s- расстояние

Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным

Скорость считается положительной величиной

Любой переход с одного вида движения на другой считается происходящим мгновенно

 

Задача 1. ЯКласс

Моторная лодка проплыла по озеру 70 км от пристани до острова. На обратном пути она увеличила скорость на 2 км/ч и провела в пути на 4 ч. меньше. С какой скоростью плыла лодка от острова до пристани? Лодка плыла от острова до пристани со скоростью км/ч.

Шаги решения (Запись решения ведем на слайде презентации)

Составляем таблицу.

 

	Скорость (км/ч)	Расстояние (км)	Время (ч.)
Туда	x	70	70/x большая
Обратно	x + 2	70	70/x+2 меньшая

На обратном пути — время на 4 ч. меньше; составляем уравнение, используя разницу во времени.

Из большей дроби вычитаем меньшую (меньше та дробь, у которой знаменатель больше).

t (туда) − t (обратно) = разница во времени.

70х  -  70  х+2 = 4

Слайд 19__Решение задачи ______

 

70(x+2)/x−70x/(x+2=4(x⋅(x+2)/1.
Приводим к общему знаменателю и отбрасываем его.

x≠0,x+2≠0.
70(x+2)−70x=4(x2+2x);

70x+140−70x=4x2+8x;

4x2+8x−140=0.
Вычисляем корни квадратного уравнения:
D= b2−4ac = 82+4⋅4⋅140 = 2304.
x1=(−8+√2304)/2⋅4=5(скорость до острова). x2=(−8−√2304)/2⋅4=−7(не подходит, т. к.−7<0).

Скорость на обратном пути равна 5+2 = 7 км/ч.

 

Лодка от острова до пристани плыла со скоростью 7 км/ч.

Оценим себя.

На урок приглашена еще одна гостья – литература, с секретным конвертом. Открываем конверт. Слайд 20______видео.__

Видео-вопрос от одноклассника Тимофея.

Совсем недавно я прочитал произведение М.Булгакова «Мастер и Маргарита». Зачитаю отрывок из текста:

Глава 21. Полет

Невидима и свободна! Пролетев по своему переулку, Маргарита попала в другой, пересекавший первый под прямым углом. Она перерезала его в одно мгновение и тут же усвоила, что, даже будучи совершенно свободной и невидимой, даже и в наслаждении нужно быть хоть немного благоразумной. Только каким-то чудом затормозившись, она не разбилась насмерть о старый покосившийся фонарь на углу. Увернувшись от него, Маргарита покрепче сжала щетку и полетела помедленнее, вглядываясь в электрические провода и вывески, висящие поперек тротуара.

Источник: https://lit-ra.su/mihail-bulgakov/master-i-margarita/glava-21-polet Видео

Я придумал задачку по алгебре на составление рационального уравнения с опорой на произведение М. Булгакова. и предлагаю Даше ее решить.

Задача 2. Слайд _21________Маргарита, пролетев 800 метров, чуть не врезавшись в столб, покрепче сжала щетку и полетела медленнее на 3 км/час. Пролетев еще 1200 м. она заметила, что время ее полета составило всего лишь дюжину минут. Найти скорость на первом участке ее полета.

 

Учитель: Проанализируем рассмотренную задачу с точки зрения её перевода на математический язык с обыденного. С чего начнем?

 

ВО: Начертим таблицу.

Вводим обозначение: x — искомая скорость.

Применяя закон равномерного движения из физики t = s / v .

	s	v	t
1 участок	800м = 0,8 км	x	0,8 / x
2 участок	1200м=1,2 км	x +3	1,2 / x +3

 

 

Вызов в Скайпе одноклассника для совместной работы. (Работа на он-лайн доске совместного использования)

Пусть Маргарита до вынужденного поворота летела со скоростью x км/ч. Тогда после она летела со скоростью (x  – 3) км/ч. До поворота она пролетела 800 метров (0,8 км), после — 1200 метров (1,2 км). Все время ее полета составляет 12 минут (1/5 ч). Составим уравнение:
0,8х+1,2x-3=15

Решим уравнение:

0,8×5×(x-3)x×x-3×5+1,2×x×5x×x-3×5=1×x×(x-3)x×x-3×5

Заметим, что знаменатель во всех дробях одинаков, поэтому от него можно избавиться.

4x-12+6x=x2-3x

Перенесем правую часть уравнения в левую, при этом меняя знаки изменяемых слагаемых на противоположный:

-x2+13x-12=0

С положительным коэффициентом A вычислять проще, поэтому заменим все знаки уравнения на противоположные:

x2-13x+12=0

Найдем дискриминант получившегося квадратного уравнения:

D=-132-4×1×12=169-48=121

Найдем все возможные корни уравнения:

x=--13±1211×2=13±112

x1=1                      x2=12

Если скорость до поворота равна 1кмч, то скорость после поворота равна -2кмч, что невозможно, так как скорость является векторной величиной.

Значит, скорость Маргариты на первом участком пути равна 12 км/ч.

 

Ответ: 12 км/ч.

 

Творческая работа

Следующий пункт маршрута «Проба пера» Слайд___________

Задание. Составить задачу по уравнению.

 

150х - 150х+10 = 1 2

 

ВО: Расстояние от Балабаново до Сухинич 150 км. Мы с мамой ехали с некоторой скоростью. На обратном пути решили ехать быстрее и увеличили скорость движения машины на 10 км/час. В результате в дороге мы были на 30 минут меньше. Какая скорость была в начале поездки ?

 

Решение:

Составляем таблицу.

	Скорость (км/ч)	Расстояние (км)	Время (ч.)
Туда	x	150	150 / x большая
Обратно	x + 10	150	150 / x+10 меньшая

 

t (туда) − t (обратно) = разница во времени. 30 минут или ½ часа

150 ∙2 ∙ (х+10) - 2 ∙150 ∙ х = х∙ (х+10)

300х+3000-300х=х2+10х

х2+10х-3000=0

 

Д=10²+4∙3000=12100

√12100=√121∙ 100=11∙10=110

х ₁ = -10+110/2=50 х₂=-60 Не подходит по условию задачи.

 

Учитель: Обсудим ответ. Почему средняя скорость движения получилась не очень большой.

ВО: Математические модели задач идеализированы. Не учитываются периоды остановки, замедления, времени торможения. -

Оценим себя по 6 пункту маршрутного листа

 

6. Повторение. Слайд__23_________

Следующий пункт. Время подвести итоги

– Каковы этапы решения задач на составление рационального уравнения.

ВО: Анализ текста задачи;

Введение неизвестных величин;

Установление связи между величинами;

Составить таблицу;

Составить уравнение

Решить уравнение

Ответить на вопрос задачи

(записать ответ).

 

– Каков алгоритм решения рационального уравнения?

ВО: Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
Решить получившееся целое уравнение.
Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Записать ответ.

– Как проводится интерпретация полученных решений?

 

О: необходимо оценить что мы принимаем за неизвестную переменную и какой величиной она может быть
– В каких случаях полученные корни уравнения могут не удовлетворять условию задачи?

 

ВО: скорость отрицательная, время выполнения работы меньше нуля

 

7. Домашнее задание. Слайд__24__________

Задача . От Тимофея

Маргарита полетела на шабаш ведьм. На расстоянии 228 км от дома, ее догнали служанка Наташа и сосед Николай Иванович. Наташа рассказала, что они начали движение через полчаса после вылета Маргариты и преодолели одинаковое с ней расстояние. Николай Иванович заметил, что средняя скорость Маргариты была на 25 км/ч меньше его постоянной скорости. Какова скорость Маргариты?

	s	v	t
Маргарита	228 км	x	228 / x
Наташа	228 км	x +25	228 / x 25

 

Решение Тимофея

Пусть скорость Маргариты равна x км/ч. Тогда Наташа и Николай Иванович летели со скоростью (x+25) км/ч. Они начали движение на 30 минут (12ч) позже Маргариты. Расстояние от дома (точки вылета) до места их встречи составляет 228 км. Составим уравнение:
228х+25+12=228x

Решим уравнение:

228×2×x(x+25)×2×x+1×(x+25)×xx+25×2×x=228×(x+25)×2x+25×2×x

Заметим, что знаменатель во всех дробях одинаков, поэтому от него можно избавиться.

456x+x2+25x=456x+11400

Перенесем правую часть уравнения в левую, при этом меняя знаки изменяемых слагаемых на противоположный:

x2+25x-11400=0

Найдем дискриминант получившегося квадратного уравнения:

D=252-4×1×-11400=625+45600=46225

Найдем все возможные корни уравнения:

x=-25±462251×2=-25±2152

x1=-120                      x2=95

Скорость является векторной величиной, поэтому не может быть отрицательной.

Значит, средняя скорость Маргариты равна 95кмч.

Ответ: 95 км/ч.

Ознакомиться с буктрейлером по книге М. Булгакова «Мастер и Маргарита» https://youtu.be/GrREflAkDw4

 

8. Рефлексия учебной деятельности на уроке Слайд__________

На уроке работала	активно/пассивно
Своей работой на уроке я	довольна/не довольна
Урок для меня показался	коротким/длинным
За урок я	устала/ не устала
Материал урока мне был	понятен/ не поеятен
	полезен/бесполезен
	интересен/скучен
Домашнее задание	легкое/ трудное
	интересное/не интересное

 

Используемая литература:

1. Алгебра:8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций/А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.: Вентана – Граф, 2017.

1. file0.docx.. 192,6 КБ
2. file1.pptx.zip.. 14,5 МБ

Опубликовано: 27.11.2022