Функции, способы задания функции. Взаимно-обратные функции. Композиция функций

Автор: Боковец Ирина Ивановна

Организация: ГБОУ ЛНР «Марковская гимназия»

Населенный пункт: пгт.Марковка

Тема урока: «Функции, способы задания функции. Взаимно-обратные функции. Композиция функций»

Тип урока: Урок «открытия» нового знания

Цель урока:

- познакомить учащихся с понятиями функция и способами задания функции, с графиком функции, с взаимно-обратными функциями, композициями функций;

- выработать умения строить и читать графики функций;

- обеспечить интерес к изучаемой теме, к творчеству;

-научить применять новые способы действий.

Формируемые УУД:

Регулятивные:

- уметь ставить цели учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно;

- уметь составлять план и последовательность действий для достижения необходимой цели;

- выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения;

Коммуникативные:

- умение общаться и взаимодействовать с партнерами по совместной деятельности или обмену информацией;

- умения действовать с учетом позиции другого и согласовывать свои действия;

- умение организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками;

Познавательные:

- давать определение понятию «график функции» и сформулировать условия, при выполнении которых кривая может являться графиком некоторой функции;

- научиться строить графики функциональных зависимостей;

- научиться читать графики и отвечать на вопросы, опираясь на график или таблицу;

Этапы урока:

1.Организационный момент

2.Мотивирование на учебную деятельность

3.Актуализация знаний

4.Изучение нового материала

5. Первичное закрепление знаний

6.Рефлексия деятельности. Подведение итогов урока.

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие. Проверка готовности учеников к уроку, проверка отсутствующих.

2. Мотивирование на учебную деятельность.

Эпиграф к уроку:

Да, путь познания не гладок,

Но знаем мы со школьных лет,

Загадок больше, чем разгадок,

И поискам предела нет.

 

3.Актуализация знаний.

-Давайте вспомним определение функции?

Функция - это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами. Любой физический закон , любая формула отражает такую взаимосвязь величин.

Мяч, брошенный под углом горизонту, летит по параболе. Зависимость дальности его полёта от времени - линейная функция, -

а зависимость высоты от времени квадратичная.

 

Если рассматривают функцию f с независимой переменной x и зависимой переменной y, то говорят, что переменная у функционально зависит от переменной x. Этот факт обозначают так: y = f(x).

Мы меняем x (независимую переменную, или аргумент) - и по определённому правилу меняется y.

Не обязательно обозначать переменные х и у, а функцию f например S(t) зависимость пройденного пути от времени, Z(p) зависимость выручки от цены. А в высшей математике изучают функции нескольких переменных.

Также мы можем дать другое определение: функция - это определённое действие над переменной.

Это означает, что мы берём величину х, по определённому правилу делаем с ней некоторое действие (например, возводим в квадрат или вычисляем ее третью степень) - и получаем величину у.

Аргумент - независимая переменная, обычно обозначается х.

Область определения функции - множество тех (и только тех) значений аргумента х, при которых функция существует. Обозначается D(f) или D(y).

Область значений функции - это множество значений, которые принимает переменная у. Обозначается E(f) или E(y).

Нули функции - точки, где y = 0.

- Что называется графиком функции?

Это геометрическое понятие в математике, дающее представление о геометрическом образе функции.

В случае использования прямоугольной системы координат, график функции — это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (x) и ординаты (y), которые связаны отображаемой функцией или проще множество точек координатной плоскости, абсциссы которых составляют область определения функции, а ординаты соответствующие значения функции.

Изучение любой функции завершается построением графика этой функции.

-Обратите внимание на рисунок. Постарайтесь среди данных линий найти графики функций.

-Любое ли множество точек на координатной плоскости задает график функции?

-Нет, только такое множество, где каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции.

Как мы видим на рисунке, графики функций встречаются не только в математике, но и в природе – все, что нас окружает, состоит из графиков функций.

4.Изучение нового материала

1. Понятие функции.

При изучении алгебры и начал математического анализа используют следующее определение:
Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х.

Или:

Функция (отображение, преобразование) — соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

- Какие функции вам уже известны ?

-Линейная функция. Прямая пропорциональность.

-Обратная пропорциональность.

-Квадратичная функция.

-Степенная функция.

Все вышеперечисленные функции относятся к элементарным функциям.

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

А какие из этих линий относятся к графикам степенных функций?

Теперь давайте вспомним следующие функции, их графики и свойства: y=x², y=x³, y=1/x ,y=√x или y=x^½ , y =x

2.Способы задания функции

• С помощью формулы. Например: y = 2x + 3
• С помощью таблицы. Например, при каком либо исследовании новой закономерности, когда не известны ни формула, ни график, этот способ будет единственно возможным.
• С помощью графика. Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.
• Словесно. Функцию можно вполне однозначно задать словами. Так, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Правило установлено, функция задана.

Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно. Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х.Например, если х=3,тоу=3.Если х=12,то у=1+2=3. И так далее. Формулой это записать проблематично.

 

3.Взаимно обратные функции

В математике для каждого действия, как правило, существует обратное к нему (сложение — вычитание, умножение — деление, возведение в квадрат — извлечение квадратного корня и т.д.). Но что такое взаимно обратные функции?

Если задана функция y = f(x), то для каждого значения x из области определения функции можно найти соответствующее значение y. Но нередко приходится решать обратную задачу: по данному значению функции у находить соответствующее значение аргумента х. В этом случае можно выразить обратную зависимость значений аргумента от значения функции. Такие функции называются обратимыми.

Если функция y = f(x) принимает каждое своё значение только при одном значении х, то эту функцию называют обратимой.

Так, функция y = 3x - 3 обратима, так как каждое значение y принимается при единственном значении аргумента x.

Функция y = x² не является обратимой, так как, например, значение y = 1 она принимает при x = 1 и при x = -1.

Взаимно обратные функции — это пара функций, каждая из которых является обратной к другой. То есть, если значения исходной функции подставить в её обратную функцию, то получатся те же значения, что и на входе. Соответственно, если значения обратной функции подставить в исходную, то также получатся исходные значения.

 

Свойства взаимно обратных функций:

• Область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определений исходной функции.
• Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой y = x

 

Запомните: возрастающие и убывающие функции называют монотонными.

Монотонная функция является обратимой.

Алгоритм нахождения функции, обратной к данной

1.Выражаем из формулы х.

2.Меняем местами х и у в этой формуле

3. Полученная формула- формула обратной функции

Пример.

Найти функцию, обратную к функции у=5х+3

1) х=1/5(у-3)

2) у=1/5(х-3)- обратная функция

 

4.Композиция функций

Композиция функций — это процесс объединения двух или более функций в одну функцию.

• У нас есть две функции f и g
• Вместе они порождают функцию h
• Композицией функции будет считаться h(x)=g(f(x))

Функция g применяется к функции f(x). Другими словами, одна функция применяется к результату другой функции.

Пусть функция y = f(u) определена на множестве D, а функция u = z(x) на множестве , причем для соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция u = f(z(x)), которая называется сложной функцией от x (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).

Переменную u = z(x) называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция y = sin2x есть суперпозиция двух функций y = sin u и u = 2x. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

5. Первичное закрепление знаний

 

1. Я зачитываю утверждение, вы должны записать номер утверждения и отметить, согласны вы с ним или нет.

	Утверждение	Правильный ответ
1	Независимую переменную называют значением функции	Нет
2	Аргумент функции обычно обозначаю через х	Да
3	E(f) – это область определения функции	Нет
4	Координата х называется абсциссой	Да
5	Координата у называется абсциссой	Нет
6	При словесном задании функции всегда можно составить формулу	Нет
7	Зависимую переменную называют аргументом функции	Нет

 

Полный текст статьи см. приложение

1. file0.docx (282,8 КБ)

Опубликовано: 05.11.2024