Проект по математике «Прогрессии в нашей жизни»

Автор: Капитолина Викторовна Сысуева

Организация: МБОУ Разинская СШ

Населенный пункт: р.п.им.Ст.Разина

 ВВЕДЕНИЕ

На уроках алгебры в 9 классе мы изучили арифметическую и геометрическую прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии и сумму первых членов прогрессии.

Я стала обращать внимание, что в средствах массовой информации часто звучат выражения «…увеличивается с геометрической прогрессией…», «…уменьшается по закону арифметической прогрессии…» и др. На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Меня заинтересовал следующий вопрос: в каких жизненных ситуациях можно применить знания о прогрессиях? Можно ли увидеть прогрессию в природе, экономике других областях человеческой жизни.

 

Таким образом, объектом моего исследования являются арифметическая и геометрическая прогрессия.

 

Актуальность исследования обусловлена тем, что в настоящее время острым вопросом становится проблема соотношения материла, изучаемого в школьном курсе математики, с жизнью. Представленная работа может быть применима для сдачи экзаменов и решения практических задач в жизни.

Новизна рассмотрения темы моего проекта состоит в том, что я обобщила научное теоретическое и практическое представление этого вопроса, рассмотрела практические задачи, провела исследование на наличие прогрессии в моей семье.

Объект исследования: арифметическая и геометрическая прогрессии.

Предмет исследования: практическое применение прогрессий в нашей жизни.

Цель работы: определение места прогрессий в нашей жизни.

Задачи исследования:

- изучить литературу по теме работы

- выяснить историю возникновения и развития понятия «прогрессии»

- установить наличие прогрессий в окружающем мире, их применение в жизни человека.

 

Гипотеза исследования: мы предполагаем, что в различных сферах жизни человека используются знания о геометрической и арифметической прогрессиях и умения применять формулы по этой теме.

Методы исследования: анализ математической, справочной литературы; обработка и обобщение найденных фактов; эксперимент.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПОНЯТИЯ «ПРОГРЕССИЯ».

 

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.

Прогрессия - последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Сами по себе прогрессии известны так давно, что невозможно сказать о том, кто их открыл. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, так же, как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими.

Работая с литературой, я установила, что около ста лет назад англичанин Ринд производя раскопки в Египте, обнаружил папирус, который был составлен за 2000 лет до н. э., но и этот папирус был списан с другого, еще более древнего, относящегося к третьему тысячелетию до н. э. Ученые, которым доступен язык египетских иероглифов, расшифровали текст папируса и прочли несколько задач. Папирус Ринда содержит такие задачи:

1) 10 мер ячменя разделить между десятью лицами так, чтобы доли этих лиц составляли арифметическую прогрессию, разность которой равна одной восьмой меры ячменя.

2) Имеется 7 домов, в каждом доме по 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает по 7 колосьев ячменя, каждый колос ячменя, если посеять его зерна, дает 7 мер ячменя. Найдите сумму общего числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер. (Задача на нахождение суммы прогрессии) Рассмотрим её решение.

Решение: Из условия задачи нам известно следующее: домов всего 7, кошек 7² = 49, они съедают всего 7³ = 343 мыши, которые съедают всего 7⁴ = 2401 колосьев, из них вырастает 7⁵ = 16807 мер ячменя. Таким образом, у нас получается геометрическая прогрессия: 7; 49; 343; 2401; 16807. Чтобы найти сумму геометрической прогрессии воспользуемся формулой . Подставим значения и получаем: S₅= 7(7⁵-1) : (7- 1)= 117642:6= 19607.

В исследованиях вавилонских клинописных текстов эпохи Хаммурапи (XVIII век до н.э.) говорится о том, что и в древнем Вавилоне решение некоторых вопросов хозяйственного и научного характера приводило к геометрической прогрессии. Найдена глиняная дощечка с клинописным текстом, расшифрованным одним англичанином- ассириологом. Этот текст рассказывает о том, какая часть лунного диска освещается солнцем в каждые из 15 дней от новолуния до полнолуния. Увеличение освещенной части диска в течение пяти дней подчиняется закону геометрической прогрессии со знаменателем 2, а в последующие 10 дней - закону арифметической прогрессии с разностью 16.

Все, наверняка, видели таблицу Пифагора (таблица умножения). В учебниках её часто рисуют размером 10×10, хотя можно продолжать таблицу до бесконечности. На первый взгляд кажется, что в ней нет ничего интересного — число в строке умножается на число в столбце и результат пишется в соответствующую клетку. А что, если взять диагонали таблицы? Например, главную диагональ, идущую через клетки 1, 4, 9, 16... (на рисунке они закрашены жёлтым). Видно, что все числа на этой диагонали — квадраты. Оно и понятно, мы же умножаем номер строки на точно такой же номер столбца: N · N = N². Таким образом, мы можем наперёд предсказать, что N-м числом на диагонали будет число N².

(Приложение 1)

Числа на второй диагонали (соседней сверху к главной) выглядят более хитро: 2, 6, 12, 20, 30, ... (на рисунке они закрашены зелёным). Какой закономерности они подчиняются?

Из построения таблицы Пифагора ясно, что N-е число в этой последовательности равно N · (N + 1), или N² + N. Иначе говоря, N-е число на второй диагонали больше N-го числа на главной диагонали ровно на N. (Приложение 2)

Числа на следующей (третьей) диагонали (3, 8, 15, 24, ...) что-то напоминают. Да это же квадраты, уменьшенные на единицу: 3 = 2² − 1, 8 = 3² − 1, 15 = 4² − 1 и так далее!

Еще в древности итальянский математик монах Леонардо Фибоначи из Пизы занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах он доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16… Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в «Книге абака» (1202г.) Леонардо Фибоначчи.

Общая формула для вычисления суммы любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии была выведена в первой половине XVII века несколькими математиками (среди них был французский математик Пьер Ферма) В печати же эти мысли отчетливо прозвучали лишь в 1544 г., когда вышла книга немецкого математика Михаила Штифеля «Общая арифметика»

В древней России прогрессии впервые встречаются в «Русской правде» 11 век. «Вычислить приплод от 22 овец за 12 лет при условии, что каждая овца ежегодно приносит одну овцу и одного барана».

А затем в «Русских математических рукописях» XV-XVII веках. Вот одна из задач, с прогрессиями. «Было 40 городов, а во всяком городе по 40 улиц, а во всякой улице по 40 домов, а во всяком доме по 40 столпов, а во всяком столпе по 40 колец, а у всякого кольца по 40 копей, а у всякого копя по 40 человек, а у всякого человека по 40 плетей, ино много ли порознь будет?»

Значительное количество задач на прогрессии имеется в первом учебнике в России «Арифметика»- Л.Ф.Магницкого (1703 год), который в течение полувека был учебником по математике на Руси. Математик нашего времени Я.И.Перельман - автор большого количества занимательных книг, в которых тоже есть задачи на прогрессии. Вот одна из них.

«В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д.

«За сколько эта новость станет известна половине посёлка?».

Есть легенда, что Абрамам де Муавр - английский математик французского происхождения, обнаружил, что продолжительность его сна увеличивается на 15 минут в день. Составив арифметическую прогрессию, он определил дату, когда она достигла бы 24 часов. Это — 27 ноября 1754 года. В это день он и умер.

Анализируя задачи как древних ученых, так и современных математиков, я заметила, что они все имеют практическое содержание из различных областей деятельности.

 

Полный текст статьи см. приложение

1. file0.docx (240,0 КБ)
2. file1.pptx (1,4 МБ)

Опубликовано: 10.11.2024