Самые простые наблюдения иногда могут привести к весьма значительным выводам. Ход истории демонстрирует, что выводы, сделанные на основе наблюдений за различными процессами, оказали решающее влияние на развитие науки и техники. Например, наблюдения за движением планет привели к созданию законов Ньютона, что, в свою очередь, стало основой для дальнейших исследований в астрономии и физике. Тема "Функция" в школьной программе является обширной и многогранной, охватывающей множество приложений в различных областях. Это одна из ключевых тем в курсе математики, поскольку она тесно связана с решением уравнений, неравенств, текстовых задач и многими другими аспектами.

Хотя мы не предполагаем, что все выпускники школы станут математиками, важно, чтобы будущие абитуриенты высших учебных заведений имели уверенное понимание функциональной зависимости. Умение строить графики функций, находить области определения и интерпретировать результаты – это навыки, которые будут полезны в самых разных сферах, от экономики до инженерии. Поэтому так важно уже на ранних этапах обучения, например, в седьмом классе, сформировать у учащихся основные понятия, связанные с функциями.

Урок «Что такое функция?» можно перефразировать, как «Функции вокруг нас» является первым шагом в изучении данной темы. На этом уроке необходимо не только объяснить, что такое функция, но и показать, как она проявляется в повседневной жизни. Например, можно привести примеры функций в природе, такие как зависимость роста растений от количества солнечного света или воды, а также в технике, например, в автомобилях, где скорость может зависеть от времени.

Для того чтобы заинтересовать и замотивировать ребят к дальнейшему изучению математики, наглядность играет огромную роль. Использование графиков, диаграмм и интерактивных материалов может значительно повысить интерес учащихся. Также полезно организовать групповые задания, где ученики смогут самостоятельно исследовать различные функции, строить их графики и обсуждать результаты. Это не только сделает процесс обучения более увлекательным, но и поможет развить критическое мышление и навыки работы в команде.

Таким образом, уроки по теме "Функция" могут стать не только основой математического образования, но и важным этапом в формировании у школьников аналитического мышления и способности применять полученные знания в реальной жизни. Важно помнить, что именно через практику и наблюдения учащиеся смогут глубже понять, как функционирует мир вокруг них.

Понятие функции, кажущееся сегодня фундаментальным и само собой разумеющимся элементом математики, прошло долгий и сложный путь развития, отражающий эволюцию человеческого мышления и понимания окружающего мира. Его истоки скрыты в глубокой древности, задолго до появления формализованных математических систем. Даже не обладая развитой системой счета, первобытные люди интуитивно понимали существование функциональных зависимостей. Успех охоты напрямую зависел от количества охотников, их навыков и численности стада оленей; урожай — от плодородия почвы, количества осадков и затраченных усилий. Чем больше усилий вкладывалось в обработку земли, тем обильнее был урожай – это элементарный пример функциональной зависимости, осознаваемой на интуитивном уровне. Более того, эти зависимости были не только количественными, но и качественными: опыт предыдущих охот влиял на стратегию будущих, а наблюдение за сезонными изменениями природы формировало понимание цикличности и предсказуемости некоторых событий.

С развитием цивилизации и усложнением социальных структур, функциональные зависимости становились всё более многообразными и сложными. Развитие скотоводства, земледелия и ремесел породило множество новых связей между различными величинами. Объем производимой продукции зависел от количества рабочих, используемых инструментов и доступных ресурсов. Торговля и обмен товарами привели к появлению новых зависимостей, где цена товара определялась спросом и предложением, а прибыль – от объемов продаж и затрат на производство. Астрономические наблюдения, необходимые для составления календарей и предсказания сельскохозяйственных сезонов, также стимулировали развитие понимания функциональных зависимостей, где движение небесных тел описывалось (хотя и неточно) как функция времени. Древние цивилизации, такие как Вавилонская и Египетская, создавали таблицы, содержащие эмпирически установленные соответствия между величинами (например, соответствие между длиной стороны квадрата и его площадью), что можно рассматривать как зачатки табличного представления функций.

Древнегреческие математики, в частности, Евдокс Книдский и Архимед, внесли значительный вклад в развитие идей, близких к современному понятию функции. Метод исчерпывания Архимеда, позволявший вычислять площади и объемы криволинейных фигур, является одним из важных этапов на пути к формализации понятия функции. Однако, строгого определения функции тогда еще не существовало. Понятие функции как математического объекта сформировалось значительно позже, пройдя через работы многих математиков. Значительный вклад внесли такие ученые, как Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц, разработавшие дифференциальное и интегральное исчисления, где функции играли центральную роль. Однако, их понимание функции оставалось интуитивным, лишенным строгой формализации.

Только в XIX веке, благодаря работам Огюстена Луи Коши, Карла Вейерштрасса и других математиков, было дано строгое определение функции как соответствия между множествами. Это определение позволило обобщить понятие функции, расширив его границы за пределы элементарных алгебраических и геометрических объектов, и позволило начать построение теории функций в современном ее понимании. Развитие теории функций привело к возникновению новых областей математики, таких как функциональный анализ и теория операторов, которые нашли широкое применение в физике, инженерии и других науках.

Важно отметить, что понятие функции не является абстрактным математическим построением, отрешенным от реальности. Мы постоянно сталкиваемся с функциональными зависимостями в повседневной жизни. Наше здоровье является функцией нашего образа жизни, питания и генетической предрасположенности. Экономика – это сложная система функциональных зависимостей между различными экономическими показателями. Даже наше настроение можно рассматривать как функцию множества факторов – от погоды до внутренних переживаний. Таким образом, понятие функции, пройдя долгий путь эволюции от интуитивного понимания зависимостей в окружающем мире до строгого математического определения, оказалось фундаментальным инструментом для описания и моделирования разнообразных явлений, от движения планет до сложных социальных процессов.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ

Функция есть кривая, начертанная свободным влечением руки. Л. Эйлер, 1748.

Функция переменной величины есть аналитическое выражение, составленное из этой величины и постоянных. И. Бернулли, 1718.

Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних изменяются и первые, то первые называются функциями вторых. Л. Эйлер, 1755.

Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних, независимо от того, известно или нет, какие операции нужно произвести, чтобы перейти от них к первому.

С. Лакруа, 1797.

 

Функция от x есть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа. Зависимость может существовать и оставаться неизвестной. Н.И. Лобачевский, 1834.

Y есть функция от Х, если всякому значению Х соответствует вполне определенное значение Y, причем совершенно неважно, каким именно способом установлено указанное соответствие. П. Дирихле, 1837.

С проблемой общего определения функции в середине XVIII века столкнулись крупнейшие математики того времени, Жан ле Рон Даламбер и Леонард Эйлер, в решении задачи о колебаниях струны. В спор с ними ввязался молодой математик, сын Иоганна Бернулли, Даниил Бернулли. Но в их формулировках еще ничего не говорилось о допустимом характере зависимости «первых» величин от «вторых», они оставались достаточно расплывчатыми, так что каждый из последующих математиков был волен истолковывать их на свой лад. Свою лепту внесли Сильвестр Франсуа Лакруа, Жозеф Фурье, Коши, Николай Иванович Лобачевский, Петер Лежен Дирихле. Математики даже разбились на два лагеря – сторонников определения функции «по Дирихле», не требующих обязательного правила, и сторонников определения функции «по Лобачевскому», требующих обязательного правила из конечного числа слов.

В конце двадцатых годов прошлого века над определением функции возникла новая угроза, теперь уже со стороны физиков. Теория явлений в физике микромира, новая эпоха в развитии новой физики, потребовала введения нового объекта – «дельта-функции». Здесь возникли очень серьезные разногласия между физиками и математиками, и тем значительнее представляется заслуга советского математика С.Л. Соболева, который открыл класс объектов, удовлетворяющих всем выдвинутым требованиям; впоследствии они были названы «обобщенными функциями».

Последняя форма определения функции не свидетельствует о завершении ее развития. Несомненно, в будущем, под влиянием новых требований как самой математики, так и смежных дисциплин — таких как физика, биология и социальные науки — это определение будет претерпевать изменения. Каждое новое преобразование откроет новые горизонты для науки и приведет к значительным открытиям.

Ключевым элементом является внедрение в седьмом классе концепции функциональной зависимости, что способствует привлечению учащихся и стимулированию их интереса к исследованиям в данной области.

Давайте рассмотрим некоторые интересный моменты.

Первый забавный факт для ребят. Этот вопрос обсуждают персонажи знаменитого трактата Галилея «Беседы и математические доказательства, касающихся двух новых отраслей науки»:

«Почему не бывает животных какой угодно величины? Почему, например, нет слонов в три раза большего роста, чем существуют, но тех же пропорций?

Ответ таков: стань слон в три раза больше, вес его бы увеличился в 27 раз, как куб размера, а площадь сечения костей и, следовательно, их прочность – только в 9 раз, как квадрат размера. Прочности костей не хватило бы выдержать увеличившийся вес. Такой слон был бы раздавлен собственной тяжестью. Рассуждение вполне строгое и убедительное.

Строгость и убедительность ему придало знание собеседниками двух функциональных зависимостей: первая устанавливает соответствие между размерами подобных тел и их объемами – объем изменяется как куб размера; вторая связывает размеры подобных фигур и их площади – площадь изменяется как квадрат размера.

Говоря на математическом языке, линейный размер играет роль независимой переменной или аргумента, а объем и площадь являются зависимыми переменными или функциями.»

Второй момент. Ребята становятся исследователями функциональной зависимости.

Им предлагается Рабочий лист «Что такое функция?», где задавая правило проживания Собак в Будках, они создают линейную зависимость между этими элементами. Собаки, как аргумент, независимая переменная, а Будки – зависимая переменная.

Множество Собак, состоящая из С1, С2, С3,С4, по правилу-f , ставится в соответствие их проживание в Будках(создаем множество Б1,Б2, Б3, Б4)

Вопрос на который ребята должны ответить: Собака точно знает в какую будку ей надо бежать?

В случаи отрицательного ответа, вводим понятие не функциональной зависимости двух переменных.

После исследования ребята делают вывод о том, что же является функциональной зависимостью двух переменных.

Рабочий лист после работы ученика.

Завершение теоретического разбора понятия "функция" в школьном классе логично перевести в практическую плоскость, используя интерактивный подход, стимулирующий глубокое понимание и закрепление материала. Для этого предлагается разделить класс на две команды: "Исследователи" и "Критики". Тема дискуссии – "Функция вокруг нас". Это не просто абстрактное математическое понятие, а основа множества процессов в окружающем мире. "Исследователи" берут на себя роль наблюдателей и экспериментаторов. Их задача – найти и представить реальные примеры функциональных зависимостей из различных областей жизни. Например, зависимость урожая от количества осадков (география), зависимость скорости падения тела от времени (физика), зависимость частоты встречаемости определённого слова в тексте от его стилистической функции (русский язык), зависимость стоимости товара от его количества (экономика), зависимость роста растения от количества солнечного света (биология) и многое другое. Чем разнообразнее и оригинальнее примеры, тем лучше. Важно четко выделить аргумент (х) и функцию (у), показать характер их взаимосвязи (линейная, квадратичная и т.д.), а также ограничения данной модели. Например, зависимость роста растения от количества света линейна только до определенного предела, после которого наступает насыщение, и рост замедляется. Важно указать на эти нюансы, чтобы продемонстрировать границы применения математических моделей. "Критики", в свою очередь, анализируют представленные примеры. Они должны оценить корректность выявления функциональной зависимости, выявить возможные ошибки или неточности в определении аргумента и функции, а также обсудить применимость выбранной математической модели в данном контексте. Возможно, они заметят, что в реальном мире функциональные зависимости часто являются многофакторными, и простая линейная модель может быть слишком упрощенной. Критики также могут предложить альтернативные подходы к моделированию процесса, исправляя недостатки в анализе "Исследователей". Для более динамичного обсуждения можно использовать игру "Своя игра", где вопросы будут задаваться по разным предметам (география, физика, химия, биология, литература, история и т.д.), а ответы будут представлять собой выявление функциональных зависимостей в конкретных ситуациях. Например, вопрос из географии: "Как зависит температура воздуха от высоты над уровнем моря?". Или вопрос из физики: "Как зависит дальность полета снаряда от угла вылета?". Такой подход позволит закрепить понимание функциональных зависимостей на конкретных примерах из разных областей знаний, показывая универсальность этого понятия и его применимость в различных науках. Правильные ответы будут приносить очки командам, что добавит элемент соревнования и повысит мотивацию учащихся. Подведение итогов игры и обсуждение сложных вопросов поможет уточнить и углубить понимание понятия "функция".

 

Наслаждение красотой природы доступно каждому, вне зависимости от уровня математических знаний. Прогулка по лесу, наблюдение за закатом – эти переживания не требуют сложных вычислений. Однако, если мы хотим взглянуть на природу глубже, проникнуть в её тайны, понять лежащие в основе её красоты механизмы, то математика становится незаменимым инструментом. Она позволяет перейти от поверхностного восприятия к глубокому анализу, раскрывая скрытые закономерности и структуры, которые обычный наблюдатель может просто не заметить. Например, рассмотрим расположение листьев на ветке. Казалось бы, хаотичный беспорядок. Однако, при более внимательном изучении, с применением математических понятий, таких как числа Фибоначчи и золотое сечение, мы обнаруживаем удивительную упорядоченность. Этот принцип оптимизирует доступ к солнечной энергии для каждого листа, минимизируя затенение и обеспечивая максимальный фотосинтез. Расположение листьев, казалось бы, случайное, на деле подчиняется строгим математическим законам, обеспечивающим выживание растения. Более того, математика пронизывает все аспекты природных явлений. Форма раковины наутилуса, спираль галактик, ветвление речной системы – все это описывается математическими функциями и уравнениями. Фрактальная геометрия, например, позволяет моделировать сложность природных форм, от снежинок до облаков, раскрывая их самоподобие на разных масштабах. Эти фрактальные структуры не только красивы, но и эффективны в природе, обеспечивая оптимальное использование ресурсов и адаптацию к изменяющимся условиям. Изучение волн, будь то морские волны или звуковые волны, невозможно без математического аппарата. Тригонометрические функции и дифференциальные уравнения позволяют описать распространение, интерференцию и дифракцию волн, понять природу приливов и отливов, а также разработать технологии, использующие волновые явления. В биологии математические модели используются для описания роста популяций, распространения эпидемий и эволюционных процессов. Статистические методы позволяют анализировать большие объемы данных, выявляя скрытые закономерности и предсказывать будущие изменения в экосистемах. Таким образом, математика не просто инструмент для анализа природных явлений, но ключ к пониманию их глубокой сущности и внутренней гармонии. Она помогает нам не только наслаждаться красотой природы, но и защищать её, принимая обоснованные решения на основе научных данных. Поэтому, хотя простое наслаждение природой не требует математических знаний, глубокое понимание её законов невозможно без этой фундаментальной науки.

 

Использованная литература и интернет-ресурсы:

1. Глейзер Г.И. История математики в школе: 7-8 класс. / Г.И. Глейзер. - М.: Просвещение. - 1982.
2. Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. / В.Д. Чистяков. – Минск: “Народная освета”. - 1969.
3. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. / К.А. Малыгин. - М.:Учпедгиз. - 1958.
4. Математический энциклопедический словарь. - М.: Сов.энциклопедия. - 1988.
5. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика. - 1989.
6. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. / В.С. Крамор. – М. : Просвещение, 1990.
7. Григорьева В. Лекция «Функции рядом с нами». // Приложение Математика, №4. – М. : из-во Первое сентября, 2003. – с. 1-4, 6.

 

Приложения: