Некоторые математически четко заданные законы распределения естественным образом встречаются в физическом мире повседневной жизни, присутствие которых подтверждается статистикой. Наиболее значимый закон нормальное распределение, или распределение Гаусса. Это колоколообразная кривая, симметрично уменьшающаяся в обе стороны от максимального значения. На большом количестве экспериментов установлено, что многие случайные величины, например, масса овощей, промежутки времени между случайными прохожими, погрешности длины хорошо описываются с помощью функции нормального распределения плотности вероятности [1]

В 1733 году математик А. Муавр открыл нормальное распределение, которое К. Гаусс изучал и объяснил через десятилетия. Нормальный закон распределения занимает особое положение среди всех законов распределения. Главная особенность заключается в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях [2].

Целью исследования является выяснить, соответствуют ли нормальному распределению рост учеников. Исходные статистические данные исследования – параметр роста 90 учеников 7 класса школы. Поскольку результаты измерений являются непрерывными данными, то переменная X (рост) является непрерывной случайной величиной. Для анализа выборки построен вариационный ряд, таблица частот, гистограмма и оценены статистические характеристики выборки (табл. 1).

Таблица 1 – Основные статистические показатели роста учеников

№	Показатель	Обозначение	Значение
1	Объем выборки	n	90
2	Минимальное значение	xmin	143 см
3	Максимальное значение	xmax	178 см
4	Размах	h	35 см
5	Средняя величина	xср	160,1 см
6	Медиана	Me	159 см
7	Мода	Mo	157 см
8	Дисперсия	σ2	70,1 см2
9	Стандартное отклонение	σ	8,4 см
10	Коэффициент вариации	V	5,23 %

Показатели средней и медианы примерно равны, однако, хотя рост учеников и был близок нормальному распределению, наблюдалась некоторая асимметрия, мода была на 3 см левее среднего значения. Средний рост в 7 классе был 160,1 см, что больше 48% учеников. Можно предположить, что мода, медиана и среднее будут расти и приближаться друг другу по мере взросления учеников. Коэффициент вариации не превышает 10%, следовательно, статистическую совокупность можно считать однородной.

По формуле Стерджесса оптимальное количество интервалов частот равно 7-8. Поделим проранжированный ряд признака на отрезки длиной 5, но в качестве начального значения вместо минимального значения выборки возьмем 140, а максимального – 180, получится 8 частей. Эмпирические частоты распределения роста учеников представлены на рисунке 1. Теоретические частоты найдем по формуле

,

где Δ – длина отрезка, σ – стандартное отклонение, – средняя величина, x_i – среднее значение i-го интервала.

Рис. 1. Кривые эмпирических и теоретических частот распределения роста учеников

 

Для проверки основной гипотезы воспользуемся критерием хи-квадрат Пирсона, наблюдаемое значение которого равно

,

где i – номер интервала, k – количество интервалов,m_i – теоретические частоты, m_i ¹– эмпирические частоты. Критическое значение хи-квадрат критерия при уровне значимости 0,05 и степенями свободы k – 3 = 5 равно . Поскольку , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении роста учеников. Аналогичный статистический анализ тех же обучающихся в течение последующих двух лет показал, что с ростом и развитием обучающихся распределение их роста все ближе к теоретической кривой нормального распределения.

 

Литература

1. Бродский И.Л., Мешавкина О.С. Вероятность и статистика. 10-11 классы. Планирование и практикум: Пособие для учителя. М.: АРКТИ, 2009, 104 с.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высш. шк., 2006, 575 с.

Приложения: