Урок на тему: «Решение текстовых задач на смеси, сплавы и концентрацию»

Автор: Яганова Патимат Алиевна

Организация: МБОУ «Гимназия №37»

Населенный пункт: Республика Дагестан, город Махачкала

9 класс

Открытый урок

Тема урока: «Решение текстовых задач на смеси, сплавы и концентрацию».

Если хотите научиться плавать,
то смело входите в воду, а если хотите
научиться решать задачи, то решайте их.
                                                  Дьёрдь Пойа

Цели:

Образовательные:

• Создание условий для углубления знаний обучающихся при решении текстовых задач на растворы, смеси, концентрацию, сплавы. 
• Повышение практической направленности предмета через решение практических задач.
• Подготовка к ГИА.

Развивающие:

• Развитие навыков логического, творческого мышления,  сообразительности и наблюдательности. 
• Развитие умения использования химической  и математической терминологии.

Воспитательные:

• Формирование математической грамотности учащихся. 

Оборудование:

 

• Раздаточный материал; 
• компьютерная презентация в программе Power Point; 
• мультимедиапроектор; 
• ПК; 
• экран.

 

ХОД УРОКА

1. Организационный
2. Актуализация опорных знаний

-Многие задачи в математике связаны с понятием “проценты”, “процентное содержание”, растворы, смеси. Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, газообразные и твердые вещества, или разбавлять что-то водой. 

-Я предлагаю разгадать кроссворд.       

Кроссворд:

1. Сотая часть числа называется …(процент)
2. Частное двух чисел называют …(отношение)

3. Верное равенство двух отношений называют …(пропорция)

4. В химии определение этого понятия звучало бы так: гомогенная смесь, образованная не менее чем двумя компонентами … (раствор). 

Один из которых называется растворителем, а другой растворимым веществом.

5. Отношение массы растворимого вещества к массе раствора называют массовой долей вещества в растворе или …(концентрация)

Все эти понятия «процент», «отношение, «пропорция», «концентрация» связаны  с задачами на смеси, сплавы и растворы.

Используя эти ключевые слова, сформулируйте тему урока. 

-Решение задач на проценты, растворы(смеси, сплавы).

Какова же цель урока?

       Рассмотреть различные подходы к решению задач на смеси и растворы. Научиться решать задачи на проценты и растворы.

В школьной программе почти не рассматриваются задачи на смеси, сплавы и растворы, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание».

Текстовые задачи на проценты, смеси, сплавы включены в работы по математике ОГЭ и ЕГЭ. Вы уже встретились с ними при выполнении тренировочной работы в системе СтатГрад и на олимпиаде. Проблем при решении возникает не мало.

Откройте тетради и запишите дату.

-Что называется  процентом (сотая часть числа). (Работа с энциклопедией и словарём)

Историческая справка.

Слово “процент” происходит от латинского слова pro centum, что буквально означает “за сотню” или “со ста”. Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотовых долях. Процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого.

Знак “%” происходит, как полагают, от итальянского слова cento(сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

- В какой форме еще можно записывать проценты? (Проценты можно записать в виде обыкновенной или десятичной дроби)

 

Задание 1. ( устно) Соотнести проценты и соответствующие им дроби 

 

 

При решении задач используются основные сокращенные процентные отношения

 

- Основные задачи на проценты – это:

- 1. Нахождение процентов данного числа.

Чтобы найти р % от а, надо а•0,01р

- 2. Нахождение числа по его процентам.

Если известно, что р% числа равно b, то а = b: 0,01р

- 3. Нахождение процентного отношения чисел.

Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%

а/b *100

       Итак, ребята, сегодня на уроке мы с вами рассмотрим задачи, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание». В условиях таких задач речь идет, чаще всего, о сплавлении каких-либо металлов, растворении друг в друге различных веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов. Эти задачи входят в различные сборники заданий по подготовке к итоговой аттестации по математике за курс основной школы и включаются в варианты ГИА.

В числе текстовых задач особое место занимают задачи на смеси, растворы и сплавы. Задачи эти включены в кодификаторы ОГЭ и  ЕГЭ и по химии,  и по математике, причем в структуре экзаменационной работы считаются  заданиями повышенного уровня сложности. Некоторые учащиеся, увидев задачу на смеси, сплавы и растворы, сразу отказываются их решать. Их можно понять. В учебниках их мало, а в вариантах экзаменов они есть.

При решении задач о смесях, сплавах, растворах используют следующие допущения:

1) все полученные смеси, сплавы, растворы считаются однородными;

2) не делается различия между литром как мерой вместимости сосуда и литром как мерой количества жидкости (или газа);

3) смешивание различных растворов происходит мгновенно;

4) объем смеси равен сумме объемов смешиваемых растворов;

5) объемы растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными.

   На выпускных экзаменах встречается много задач на смеси и сплавы. Для решения подобных задач применяются различные методы: от решения на части до применения химических формул. т.е способа решения задач на уроках химии.

В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы, рисунки, таблицы. 

 Поэтому мы с вами рассмотрим решения задач на смеси и сплавы.

III. Задачи на смеси и сплавы.

 

I. Рассмотрим решения задач с применением таблицы.

Таблица для решения задач имеет вид.

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание вещества (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества

Задача № 1.Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 21кг высушенных фруктов.

Наименование веществ	Масса	%воды	% сух вещ	Масса  сух вещ
Свежие фрукты	Х кг	93%	7%	Х*0,07
Высушенные фрукты	21 кг	16%	84%	21*0,84

 

В свежих фруктах и в высушенных масса сухого вещества не меняется

Х*0,07=21*0,84     Ответ:252 кг.

Задача №2 Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?

 

Задача № 3  (Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе,). Сколько граммов воды нужно добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?

  Способ решения задач с помощью таблиц:

 

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание вещества (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества
Сироп	25%=0,25	180 г.	0,25⋅180=45 (г.)
Вода	0%	х г.	-
Новый сироп	20%=0,2	(180+х) г.	0,2⋅(180+х)=36+0,2х (г.)

 

45 = 36 + 0,2х;

0,2х = 9;

х=45.

Ответ: 45 г.

 

Задача 4.

Смешали 8 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

	% содержания вещества	Масса раствора	Масса вещества
1 раствор	15% = 0,15	8 л	8 •0,15
2 раствор	25% = 0,25	12 л	12 • 0,25
смесь	X	8 + 12 = 20 л	20 x

Сумма масс некоторого вещества в двух первых растворах (то есть в первых двух строчках) равна массе этого вещества в полученном растворе (третья строка таблицы):

20 x = 8•0,15 + 12 •0,25

20 x = 1,2 + 3 = 4, 2

x = 4,2 : 20 = 0,21 = 21 %

Ответ: 21 %.

Задача. Один раствор содержит 20 % соли, а второй – 70 %. Сколько граммов первого и второго раствора нужно взять, чтобы получить 100 г 50% раствора.

Решение:

Применим правило “Метода рыбки ”.

Составим схему:

Значит, 100 г смеси составляют 20 + 30 = 50 частей.

100 : ( 20 + 30 ) = 2 г - на 1 часть.

2 • 20 = 40 г – 20% раствора

2 • 30 = 60 г – 70 % раствора

Ответ: 40 г- 20 % раствора; 60 г- 70 % раствора.

 

Решение задач с помощью приравнивания площадей равновеликих фигур. 

Задача. Смешали 30%-й раствор соляной  кислоты с 10% раствором и получили 600 г. 15%-го  раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?

 

На оси х мы отмечаем массу растворов, на оси у процентное содержание растворов. Находим площади  полученных прямоугольников и приравниваем их. 

В данной задаче  нам неизвестна масса первого вещества. Обозначим её за хг., тогда масса второго вещества  равна  (600-х) г.  Находим площади прямоугольников.  S1=15x       S2=5(600-x). Приравниваем эти площади. Решаем уравнение 15х=5(600-х). Получаем х=150 г- масса первого раствора.

Находим массу второго раствора 600-150=450г.

Ответ: 150г. 30%-го раствора и 450г. 10%-го раствора.

Решение задачи с помощью системы уравнений

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй- 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 г, содержащий 25% никеля. На сколько  граммов масса первого сплава меньше массы второго?

Условно разделим сплав на никель и еще какой-то металл.

Пусть х кг масса первого сплава, у кг – второго.

Так как масса третьего сплава 200 кг, то получим уравнение 

Масса никеля в первом сплаве (0,1х) кг,  во втором – (0,3у) кг, а в новом - 200·0,25=50 кг. Получим второе уравнение  

Получим систему уравнений:

50 кг – масса первого сплава.

150 кг – масса второго сплава.

150 – 50 = 100 (кг)

Ответ: на 100 кг.

 

IV. Физкультминутка.  

    Раз – поднялись, потянулись

Два – согнулись, разогнулись

Три в ладоши три хлопка

На четыре – три кивка,

Пять руками помахать,

Шесть – тихонько всем присесть.

V.Самостоятельная работа (работа по группам)                                                               

Первый сплав содержит 10 % меди, второй - 25 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 3 кг, содержащий 20 % меди. Какое количество каждого сплава было использовано?

Решить задачу разными способами: системой уравнений, линейным уравнением, “методом рыбки ”

(по рядам.)

 

1 способ: (система уравнений)

	% содержания вещества	Масса сплава	Масса меди
1 сплав	10% = 0,1	Х кг	х • 0,1
2 сплав	25% = 0,25	У кг	у • 0,25
сплав	20 % = 0,2	3 кг	3 • 0,2

0,15 у = 0,3 у = 2 , значит х = 1.

Ответ: 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.

 

 

 

2 способ: ( линейное уравнение)

	% содержания вещества	Масса сплава	Масса меди
1 сплав	10% = 0,1	Х кг	х * 0,1
2 сплав	25% = 0,25	3 - х кг	( 3 – х) * 0,25
сплав	20 % = 0,2	3 кг	3 * 0,2

х * 0,1 + ( 3 - х ) * 0,25 = 3 * 0,2

х * 0,1 + 0,75 - х * 0,25 = 0,6

- 0,15 х = - 0,15

х = 1, значит 3 – 1 = 2.

Ответ : 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.

3 способ: (Метод рыбки)

5+10 = 15 частей в 3 кг

3: 15 = 0,2 кг – в 1 части.

На 5 частей – 0,2 * 5 = 1 кг

На 10 частей - 0, 2 * 10 = 2 кг

Ответ: 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.

По формуле:

Защита решения задачи (по одному ученику от ряда представляют свое решение).

 

VI.Подведение итога урока. Рефлексия                                

Учитель: Вернёмся к поставленным в начале урока целям. Какие из них вы выполнили?  (дети отвечают) - Молодцы, ребята, вы успешно справились с заданиями. Мне очень приятно было с вами работать.

– Посмотрите на содержание всех решенных сегодня задач. Что их объединяет?  (Задачи на смеси и сплавы)

– Действительно, во всех задачах фигурируют смеси и сплавы; и если вы обратили внимание, задачи касаются разных сторон нашего быта.

Продолжите фразу:

• Сегодня на уроке я повторил ...
• Сегодня на уроке я узнал ...
• Сегодня на уроке я научился ...

Вывод: Разные способы решения дают одинаковый результат. И вы сами выбираете тот путь решения, который больше подходит для данной задачи.

 

VII.Домашнее задание:

Решить задачи:

1. Имеется два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46 % кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?
2. В сосуде объемом 10 л содержится 20%-й раствор соли. Из сосуда вылили 2 л раствора и долили 2 л воды, после чего раствор перемешали. Эту процедуру повторили ещё один раз. Определите концентрацию соли после первой и второй процедуры.
3. Сколько граммов 35% раствора марганцовки надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%?
4. Сколько граммов воды нужно добавить к 5% йодной настойке массой 100г, чтобы концентрация йода уменьшилась до 1%?
5. Требуется приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25% - го раствора нашатырного спирта?
6. Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки?

 

VIII.Оценка знаний

- Оцените свои знания и умения по данной теме.

- Спасибо за урок!

 

 

Дополнительные задачи.

Задача Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание меди (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества
Первый сплав	15%=0,15	хг	0,15*х
Второй раствор	65%=0,65	(200 – х)г	0,65*(200–х)=130–0,65х
Получившийся раствор	30%=0,3	200 г	200*0,3=60

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть в первых двух строчках) равна массе меди в полученном сплаве (третья строка таблицы):

                                 

Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение
200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г.

Ответ:140г. 60г.

 

Список использованной литературы.

1. Иванов М.А.  Математика без репетитора. 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов Учебное пособие. – М.: Издательский центр «Вентана – Граф», 2002г.

2.  Кац М. Проценты // Математика. Приложение к газете «Первое сентября». М.: Издат. дом «Первое сентября», 2004. № 20, 22, 23, 25−26.

3. Кузнецова Л.В. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе. - М.: Просвещение, 2010. 

4. Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы.- М. :Чистые пруды, 2010 (Библиотечка «Первого сентября». Выпуск 31 )

5. Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений. Учебное руководство. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1990г.

6.  Малахова Н. А., Орлов В. В. и др. Методика работы с сюжетными задачами: Учебно-методич. пособие. СПб.: Изд-во РГПУ, 1992. 46 с.

7.  Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред.школы. – 3-е изд., доработанное. М.: Просвещение, 1989

9.  www.mathege.ru

10. www.fipi.ru

11. www. festival.1september.ru

12. http://www.shevkin.ru/

1. file0.doc (151,5 КБ)

Опубликовано: 06.01.2025