Математика

Банковское дело

Решение задачи

Процент, десятичная дробь,

обыкновенная дробь, уравнения, показательные уравнения, корни, степени, логарифмы, свойства степеней, логарифмов, тождества.

1. Клиент открыл вклад на 100 тыс. руб на 3 года под некий процент годовых и получил сумму 135 тыс.руб. Под какой процент был сделан вклад?
2. Цену шариковой ручки 52,6 руб трижды увеличивали на одно и тоже число процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилась цена 30руб. На сколько процентов увеличили, а затем уменьшили цену шариковой ручки.
3. Клиент открыл вклад на 150 тыс. руб на сколько то лет под 10% процентов годовых и получил сумму 235 тыс.руб. На сколько лет был сделан вклад?
4. Кредит клиенту выдан на сумму 4млн.руб сроком на 5 лет. Процентная ставка составляет 13% годовых. Погашение кредита производится в конце каждого месяца. Определить сумму, которая должна быть выплачена за все пять лет?

1)

2)

3)

4)

Производная функции, геометрический и физический смысл производной, экстремумы функции, производные высших порядков.

1. Пусть функция спроса имеет вид QD=100-20p, постоянные издержки TFC составляют 50денежных единиц, а переменные издержки TVC на производство единицы банковского продукта-2денежные единицы. Найти объем выпуска, максимизирующий прибыль банка.
2. Оборот банка за истекший год описывается через функцию

U(t) = 0,15t³ - 2t² + 200,

где t - месяц, U – миллионы.

Исследуйте оборот банка.

1. Функция спроса относительно дохода имеет вид S = 4 + 1,2r + 0,44r².

Как изменится спрос, если доход увеличивается от 100 у.е. до 150 у.е.?

Показывает скорость изменения некоторого экономического объекта или процесса с течением времени или по отношению к другому исследуемому фактору. Позволяет найти эластичность спроса по доходу, эластичность ресурсов, прибыль.

4)Вычислить производительность труда во время каждого часа работы, при условии, что объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией у = -2t³ +10t² +50t – 16,

t– время, ч.

Производные финансовые инструменты используются для моделирования поведения рынков, инвестиций и других финансовых инструментов. Уравнение Блэка-Шоулза, в котором оцениваются варианты, основано на концепции производной.

1) Решение: Рассчитаем прибыль:

П = TR – TC,

где TR = pQ; TC = TFC + TVC.

Цена eдиницы продукции:

20p = 100 – Q ⇒ p = 5 – Q/20,

тогда

П = (5 – Q/20)Q – (50 + 2Q) =

= – 2Q + 60Q – 1000 → max

Значит объём выпуска П′(Q) = –2Q + 60 достигнет максимума при равенстве нулю производной по цене:

–2Q + 60 = 0 ⇒ Q = 30.

2) Исследуем оборот банка с помощью производной:

U´(t) = 0,45t² - 4t,

U´´(t) = 0,9t - 4,

U´´´(t)=0,9.

Момент наименьшего оборота U´(t) = 0 при t = 8,9 (наименьший оборот был на 9 месяце). Первая производная показывает экстремальное изменение оборота.

Из U´´(t) = 0 следует, что t = 4,4

Так как U´´´(t)>0 на пятом месяце имеется сильное снижение оборота.

Вывод: Момент наименьшего оборота U´(t) = 0 при t = 8,9 (наименьший оборот был на 9 месяце). В начале исследуемого периода у банк было снижение оборота. Предприятие пыталось выйти из этого состояния и для этого использовало определенные средства. На девятом месяце банком были предприняты меры по повышению производительности труда и банк стал выходить из кризиса.

3) E_r (S) = r/S*S^', r = 100.

Найдём эластичность функции относительно дохода по формуле

E_r = r/4 + 1,2r + 0,44r² * (0,88r + 1,2) = 1,972.

Делаем вывод: так как E_r>1, то спрос увеличивается.

Определим значение эластичности, если доход равен r = 150 у.е.

Так как доход увеличивается на 50 у.е., то есть на 50%, очевидно, что спрос увеличился на

50% * 1,972 = 98,6%.

Ответ: Увеличится на 98,6%.

4)

1. Найдем производную у^, (t) = -6t² +20t + 50

2. Найдем значение производной в течение каждого часа.

t=1 y^’(t) = -6*1² +20*1 + 50= 64

t=2 y^’(t) = -6*2² +20*2 + 50= 66

t=3 y^’(t) = -6*3² +20*3 + 50= 56

t=4 y^’(t) = -6*4² +20*4 + 50= 34

Интеграл

1. Вычислить объем действий, произведенных банковским работником за седьмой час рабочего дня, если производительность труда на этом отрезке времени задана формулой
2. Вычислить общую сумму вкладов, которая образуется за рабочий день в банке, если денежное поступление описывается функцией f(t)=3t²+2t+3 (рабочий день составляет 7 часов).
3. Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 10%, если первоначальное капиталовложение составили 15 млн. руб. и намечается ежегодно капитал увеличивать на 5 млн. руб.
4. Пусть заданы чистые инвестиции функцией

Требуется определить приращение капитала за 2 года.

1. Задана функция чистых инвестиций

Определить, сколько лет потребуется, чтобы приращение капитала составило 5000 у.е.

1)

2)

3) Составим функцию ежегодного дохода f(t)=15+5t. Тогда дисконтированная сумма капиталовложения находится

4)

5)

Ответ: 6,64 года

Графики функций. Статистика. Средние величины. Вероятность.

График дохода, прибыли, кредитных платежей, начислений, посещаемость клиентов, работоспособность сотрудников, анализ причин неудачных сделок.

Провести анализ деятельности банка, если его работа за 3мес представлена в таблице

мес янв февр Март

вклады 18 23 16

кредиты 16 20 22

Новые клиенты 22 17 25