Интеграл и его применение

Автор: Гарькаева Любовь Николаевна

Организация: Брянковский колледж (филиал) ФГБОУ ВО «ЛГПУ»

Населенный пункт: г. Брянка

Методическая разработка представляет собой урок-практикум по одной из тем, входящих в программу изучения дисциплины математика:. Данный урок-практикум направлен на расширение и обобщение темы «Интеграл и его применение».

В уроке используется практический материал для решения упражнений программного материала и задач производственного содержания.

Данная разработка будет полезна для расширения, повторения, закрепления и обобщения изученной темы «Интеграл и его применение» для обучающихся и педагогов.

 

Цель урока:

- расширить и обобщить знания обучающихся по данной теме, рассмотреть применение интегралов при решении задач по математике, физике, экономике, связь данного материала с будущей профессией;

- выработка навыков решения задач с производственным содержанием и умение применить полученные знания на практике;

- развивать память и внимание, воспитывать трудолюбие, чувство коллективизма.

Тип урока: выработка навыков и умений.

План занятия.

 

1. «Суть и значение математики».
2. Из истории интегрального исчисления.
3. Применение интеграла в математике, физике и экономике.
4. Практическая часть. Решение задач производственного содержания с применением интеграла. Работа в малых группах.
5. Итог урок. Кроссворд. Заключение.
6. Рефлексия.

Математика – это прочнейший союз между точными знаниями и теоретическим мышлением.

Э. Куртиус.

 

Сущность математики не в сложных формулах и не в огромном количестве теорем, а в решении сложных вопросов по возможности простыми способами.

В. П. Ермаков.

Эпиграф:

Линий всех совершенство,

Этих черт идеал.

Ах, какое блаженство!

Нам поэт бы сказал.

Замирает душа –

Обо всем позабыл.

Только зришь не дыша –

Ты его победил.

В этот час, в этот миг

Обжег страсти накал.

Лишь сдержу только крик:

«Мой родной интеграл!»

 

Ход урока.

1. Орг. момент.
2. Актуализация опорных знаний.

Блиц - опрос («мозговой штурм»).

Установите соответствие между формулой и физическими величинами, которые она связывает.

Формула		Физическая величина
1	S = v(t) * t	А	Работа и мощность
2	A = N(t) * t	Б	Сила тока и электрический заряд
3	q = I(t) * t	В	Скорость движения и перемещение
4	Q = c(t) * t	Г	Линейная плотность и масса стержня
5	m =	Д	Количество теплоты и теплоёмкость

 

III. Вводное слово преподавателя.

История возникновения интегрального исчисления

Интеграл (от лат. Integer – целый) – одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Символ интеграл введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И.Бернулли и Г.Лейбниц согласились с предложением Я.Бернулли. Тогда же, в 1696г., появилось и название новой ветви математики – интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x)= – начальная (или первоначальная, или первообразная) для функции f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную.

Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 – ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 – 212 до н.э.).

Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX – XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.

Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести.

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод – метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме S = бесконечно большого числа бесконечно малых площадей.

 

Полный текст статьи см. приложение
 

1. file0.doc (7,7 МБ)
2. file1_feabb9f5-467a-4fce-b20c-d25398864d0f.pptx (21,4 МБ)

Опубликовано: 19.06.2025