Цель деятельности учителя

Создать условия для совершенствования навыков решения задач

Термины и понятия

Числовой набор, среднее арифметическое, медиана числового набора

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Использовать для описания данных статистические характеристики: среднее

арифметическое, медиана.

Универсальные познавательные действия:

• выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов, понятий, отношений между понятиями; формулировать определения понятий;
• выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и форм представления;

Универсальные коммуникативные действия:

• ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;
• представлять результаты решения задачи,

Универсальные регулятивные действия:

• самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его часть), выбирать способ решения с учётом имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с учётом новой информации.

Организация работы на уроке

Форма работы

Фронтальная (Ф), индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

https://lesson.edu.ru/02.4/07

Актуализация знаний обучающихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверка домашнего задания

Выявить трудности, возникшие при выполнении д/з; определить уровень знаний по теме

На уроке мы потренируемся в решении задач по темам «Среднее арифметическое» и «Медиана», изучим некоторые свойства этих средних, которые могут упростить решение некоторых задач.

Проверка знаний и умений учащихся.

В начале урока вспомните с учащимися, что такое среднее арифметическое и медиана.

Устные задания:

1. Найди среднее арифметическое чисел 8 и 10. (Ответ: 9)
2. Найди среднее арифметическое чисел 6, 10, 16 и 20. (Ответ: 13)
3. Найди медиану числового ряда: 5, 12, 14. (Ответ: 12)
4. Найди медиану: 3, 9, 8, 2, 4, 6. (Ответ: 5)

В каких случаях для характеристики числового ряда удобно использовать среднее арифметическое, а в каких – медиану?

Определение. Средним арифметическим набора чисел называется число, равное отношению суммы чисел набора к их количеству.

Правило. Чтобы найти среднее арифметическое набора чисел, нужно сложить все числа и разделить сумму на количество чисел.

Определение. Медианой числового набора называется такое число m, что хотя бы половина чисел не больше числа m и хотя бы половина чисел не меньше числа m.

Правило

1. Чтобы найти медиану числового набора, нужно упорядочить набор по возрастанию (получить вариационный ряд).

2. Если в наборе нечетное количество чисел, то медианой будет число, стоящее посередине упорядоченного набора.

3. Если в наборе четное количество чисел, то медианой будет среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине.

Решение задач

Цель деятельности

Совместная деятельность

Систематизировать теоретические знания при решении задач. Рассмотреть некоторые свойства средних

1. В числовом наборе 9 чисел, их среднее арифметическое равно 6. К этому набору добавили еще одно число x. Без вычислений определи, увеличится, уменьшится или не изменится среднее арифметическое, если:

а) x = –7; б) x = 6; в) x = 12.

Ответ: а) уменьшится; б) не изменится; в) увеличится.

1. В первом наборе 8 чисел, их среднее равно 3. Во втором наборе 12 чисел, их среднее равно 5. Наборы объединили в один набор. Найди среднее арифметическое нового набора. (Ответ: 4,2).

Заметим: Среднее арифметическое объединенного набора расположено на числовой прямой между средними двух исходных наборов.

1. В числовом наборе 23 числа. Одно (какое-то) из чисел этого набора увеличили на 1. Как и на сколько изменилось среднее арифметическое этого набора? При необходимости округли полученное число до тысячных. (Ответ: 0,043)

Задачу легко обобщить. Если в наборе n чисел и одно любое число увеличить (уменьшить) на число k, то среднее увеличится (уменьшится) на число k/n. 

Комментарий к задаче 1:

а) Добавляется число, которое меньше среднего. Значит, среднее должно уменьшиться. Сумма чисел нового набора равна 9 ⋅ 6 + х=9 ⋅ 6 - 7. Значит, новое среднее равно (9 ⋅ 6 – 7)/10=47/10=4,7.

Аналогично решаются пункты б) и в). В пункте б) можно сразу заметить, что, поскольку добавляется число 6 (равное среднему), среднее арифметическое не изменится. Ответы: б) 6; в) 6,6.

Комментарий к задаче 2:

Пусть сумма чисел первого набора S₁, тогда S₁/8=3. Сумма чисел второго набора S₂, тогда S₂/12=5. S₁=24, S₂=60. После объединения получим (24+60)/20=4,2.

Комментарий к задаче 3:

Предположим, что сумма чисел набора равна A. Тогда среднее арифметическое равно . Теперь увеличим одно число на 1. Теперь сумма равна A + 1, а среднее равно . Чтобы узнать, на сколько выросло среднее, вычтем из нового среднего старое:

Цель деятельности

Самостоятельная работа

Проверить уровень сформированности знаний по теме

1. Вычисли среднее арифметическое двух числовых наборов:

1, 2, 3, 4, 5 и 3, 4, 5, 6, 7.

Сделай вывод.

1. Вычисли среднее арифметическое двух числовых наборов:

2, 4, 7, 8, 9 и 20, 40, 70, 80, 90.

Сделай вывод.

1. Дана таблица с данными о десяти крупнейших озерах мира (см. приложение). Найдите среднее и медиану площади поверхности озёр в кв. км. и объёма в куб. м.
2. * В наборе 10 чисел, их среднее арифметическое равно 4,8. Чему будет равно среднее арифметическое нового набора, если:

а) к наибольшему числу данного набора прибавить 10;

б) из наибольшего числа данного набора вычесть 6?

1. * Каждую весну гидролог измеряет в одном и том же месте реки максимальную высоту подъема воды. До этого года у него было 50 наблюдений, и их среднее значение равнялось 1 м 21 см. Этой весной гидролог произвел измерение и добавил полученное значение к прежним наблюдениям. При этом среднее значение немного уменьшилось и стало равно 1 м 20 см. какое значение получилось у гидролога этой весной? Ответ укажите в метрах.

Комментарий к задаче 1:

Ср. арифм. 1 набора (1+2+3+4+5)/5 = 3

Ср. арифм. 2 набора (3+4+5+6+7)/5 = 5

Вывод: Если каждое число набора увеличить (уменьшить) на одно и то же число a, то среднее арифметическое набора тоже увеличится (уменьшится) на это же число a.

Комментарий к задаче 2:

Ср. арифм. 1 набора (2+4+7+8+9)/5 = 6

Ср. арифм. 2 набора (20+40+70+80+90)/5 = 60

Вывод: Если каждое число набора умножить на одно и то же число b, то среднее арифметическое набора также умножится на число b.

Комментарий к задаче 3:

Комментарий к задаче 4:

а) S/10 = 4,8 ⇨ S = 48, 48 + 10 = 58, 58 : 10 = 5,8;

б) S/10 = 4,8 ⇨ S = 48, 48 – 6 = 42, 42 : 10 = 4,2.

Комментарий к задаче 5:

Пусть сумма максимальных высот S, тогда S/50 = 1,21. Найдем сумму первых 50 измерений: S = 60,5. Этой весной измерений стало 51 и к сумме добавилась некоторая высота h, среднее стало равно 1,2 м, следовательно (60,5 + h)/51 = 1,2. Отсюда h = 0,7 м.

Итоги урока. Домашнее задание

Предложить решить несколько шуточных задач:

Слайд с домашним заданием:

Записать домашнее задание: придумать текстовую задачу про нахождение среднего арифметического и медианы некоторого числового набора, решить её.

Название

Площадь (кв. км)

Объем (куб. км)

Высота над уровнем моря (м)

Наибольшая глубина (м)

1

Каспийское море

371000

78200

-27

1025

2

Верхнее

82100

12200

183

406

3

Виктория

68000

2760

1134

80

4

Гурон

59600

3540

177

229

5

Мичиган

58000

4900

177

281

6

Танганьика

32893

18900

773

1470

7

Байкал

31500

23600

455

1637

8

Бол. Медвежье

31080

2236

156

446

9

Ньяса

30044

8400

474

706

10

Большое Невольничье

28930

2090

156

614